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数值分析习题集
（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）
长沙理工大学
第一章 绪 论
1. 设x>0,x的相对误差为δ,求lnx的误差.
2. 设x的相对误差为2％,求x的相对误差.
3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出
它们是几位有效数字: 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:
*****x1?1.1021,x2?0.031,x3?385.6,x4?56.430,x5?7?1.0.
n************(i)x1?x2?x4,(ii)x1x2x3,(iii)x2/x4,其中x1,x2,x3,x4均为第3题所给的数.
5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 6. 设Y0?28,按递推公式
1783100 ( n=1,2,…)
Y计算到Y100.若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100将有多大误差?
Yn?Yn?1?27. 求方程x?56x?1?0的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982).
8. 当N充分大时,怎样求
???N1dx1?x2?
29. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10. 设
误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列
S?12gt2假定g是准确的,而对t的测量有±0.1秒的误差,证明当t增加时S的绝对
{yn}满足递推关系yn?10yn?1?1(n=1,2,…),若y0?2?1.41(三位有效数字),y10时误差有多大?这个计算过程稳定吗?
计算到
612. 计算f?(2?1),取2?1.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?
113,(3?22),,99?702.63(2?1)(3?22) 213. f(x)?ln(x?x?1),求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若
改用另一等价公式
计算,求对数时误差有多大?
ln(x?x2?1)??ln(x?x2?1)
14. 试用消元法解方程组
?x1?1010x2?1010;x1?x2?2.假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
1?absinc,0?c?22,且测量a ,b ,c 的误差分别为15. 已知三角形面积其中c为弧度,
?a,?b,?c.证明面积的误差?s满足
s??s?a?b?c???.sabc
第二章 插值法
1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令
1Vn(x)?Vn(x0,x1,?,xn?1,x)??11 证明Vn(x)是n次多项式,它的根是x0,?,xn?1,且
x0?xn?1x2x0???nx0?x2?xn
2nxn?xn?1?1Vn(x)?Vn?1(x0,x1,?,xn?1)(x?x0)?(x?xn?1).
2. 当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式.
3. 给出f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值. x 0.4 0.5 0.6 0.7 lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 0.8 -0.223144
4. 给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,
研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.
maxl2(x)x?x?khx0?x?x3k05. 设,k=0,1,2,3,求.
xj6. 设
为互异节点(j=0,1,…,n),求证:
i) ii) 7. 设
?xl(x)?xkjjj?0nnk(k?0,1,?,n);
?(xj?0j?x)klj(x)???k?1,2,?,n).2f(x)?C?a,b?且f(a)?f(b)?0,求证maxa?x?bx?61f(x)?(b?a)2maxf?(x).8a?x?b
x8. 在?4?x?4上给出f(x)?e的等距节点函数表,若用二次插值求e的近似值,要使截
断误差不超过10,问使用函数表的步长h应取多少?
n449. 若yn?2,求?yn及?yn.
10. 如果f(x)是m次多项式,记?f(x)?f(x?h)?f(x),证明f(x)的k阶差分
?kf(x)(0?k?m)是m?k次多项式,并且?m?lf(x)?0(l为正整数).
11. 证明?(fkgk)?fk?gk?gk?1?fk. 12. 证明k?0n?1n?1n?1?f?gkk?fngn?f0g0??gk?1?fk.k?0
13. 证明
??j?02yj??yn??y0.
n?1n14. 若f(x)?a0?a1x???an?1x?anx有n个不同实根x1,x2,?,xn,证明
?f?(x)j?1jnxkj??0,0?k?n?2;?1an,k?n?1.15. 证明n阶均差有下列性质: i)
若F(x)?cf(x),则
F?x0,x1,?,xn??cf?x0,x1,?,xn?;
Fx,x,?,xn??f?x0,x1,?,xn??g?x0,x1,?,xn?.
ii) 若F(x)?f(x)?g(x),则?0174f?20,21,?,27?f?20,21,?,28?f(x)?x?x?3x?1????. 16. ,求及
17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是
并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.
R3(x)?f(4)(?)(x?xk)2(x?xk?1)2/4!,??(xk,xk?1)
18. 求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足P(0)?P(?k?1)并由此求出分段三次
埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式P(x),以便使它能够满足以下边界条件
P(0)?P?(0)?0,P(1)?P?(1)?1,P(2)?1.
20. 设
f(x)?C?a,b?,把?a,b?分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数?n(x)a,b?上一致收敛到f(x).
并证明当n??时,?n(x)在?2f(x)?1/(1?x),在?5?x?5上取n?10,按等距节点求分段线性插值函数Ih(x),21. 设
计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)的值,并估计误差.
a,b?上的分段线性插值函数Ih(x),并估计误差.
22. 求f(x)?x在?2423. 求f(x)?x在?24. 给定数据表如下: 0.25 xj a,b?上的分段埃尔米特插值,并估计误差.
0.30 0.5477 0.39 0.6245 0.45 0.6708 0.53 0.7280 yj 0.5000 试求三次样条插值S(x)并满足条件 i) ii)
2f(x)?C?a,b?,S(x)是三次样条函数,证明 25. 若
S?(0.25)?1.0000,S?(0.53)?0.6868; S?(0.25)?S?(0.53)?0.
i)
??f?(x)?dx???S?(x)?dx???f?(x)?S?(x)?dx?2?aaab2b2b2baS?(x)?f?(x)?S?(x)?dx;
ii) 若f(xi)?S(xi)(i?0,1,?,n),式中xi为插值节点,且a?x0?x1???xn?b,则
?baS?(x)?f?(x)?S?(x)?dx?S?(b)?f?(b)?S?(b)??S?(a)?f?(a)?S?(a)?.
26. 编出计算三次样条函数S(x)系数及其在插值节点中点的值的程序框图(S(x)可用(8.7)
式的表达式).
第三章 函数逼近与计算
1. (a)利用区间变换推出区间为?a,b?的伯恩斯坦多项式.
?上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的(b)对f(x)?sinx在?马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:
0,?/2(a)当m?f(x)?M时,m?Bn(f,x)?M. (b)当f(x)?x时,Bn(f,x)?x.
0,2??的最佳一致逼近多项式.
3. 在次数不超过6的多项式中,求f(x)?sin4x在?a,b?上连续,求f(x)的零次最佳一致逼近多项式.
4. 假设f(x)在?5. 选取常数a,使0?x?1maxx3?ax达到极小,又问这个解是否唯一?
0,?/2?上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.
6. 求f(x)?sinx在?0,17. 求f(x)?e在??上的最佳一次逼近多项式.
x?1,1?上与零偏差最小?r是否唯一?
8. 如何选取r,使p(x)?x?r在?20,19. 设f(x)?x?3x?1,在??上求三次最佳逼近多项式.
43***T(x)?T(2x?1),x?0,1??T(x),T(x),T(x),T3(x). nn01210. 令,求
11. 试证12. 在??T*n(x)?是在?0,1?上带权
??1x?x2的正交多项式.
?1,1?上利用插值极小化求1f(x)?tg?1x的三次近似最佳逼近多项式.
?x?1,1?上的插值极小化近似最佳逼近多项式为Ln(x),若f?Ln13. 设f(x)?e在?有界,
证明对任何n?1,存在常数?n、?n,使
?nTn?1(x)?f(x)?Ln(x)??nTn?1(x)(?1?x?1).
112331541655?(x)?1?x?x?x?x?x?1,1??28243843840,试将?(x)降低到3次多14. 设在上
项式并估计误差. 15. 在??1,1?上利用幂级数项数求f(x)?sinx的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.
?a,a?上的连续奇(偶)函数,证明不管n是奇数或偶数,f(x)的最佳逼近多项式
16. f(x)是?Fn*(x)?Hn也是奇(偶)函数.