发布时间 : 星期三 文章4-1-5 奇妙的一笔画 教师版更新完毕开始阅读
奇点．所以至少要去掉6 条线段，也就是最多能走1800 米，走法如图 【答案】
【例 13】 有16个点排成的4?4方阵。如图，请不间断地一笔画出6条直线经过每个点，且最后回到起点
【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 答案不唯一
只使用横平竖直的线怎么都不够，因此尝试使用斜线进行构造。
【答案】答案不唯一
【例 14】 一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行．如果它只能进不能退，并且同一条
棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米？
4-1-5.奇妙的一笔画 题库 page 5 of 9
DAEBFGCH【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 8个定点都是奇点，所以至少需要4笔．
多画长和高能保证总路程最长，为A－B－G－H－A－D－C－F－E－D 总长为6×4＋5×4 ＋4×1＝48分米．
【答案】48分米
【巩固】一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱
不允许重复，则甲虫回到A点时，最多能爬行多少厘米？
A【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 最多34厘米 【答案】多34厘米
模块二、调整奇偶点变一笔画
【例 15】 判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可
一笔画的图形．
ABHIAGFGABIKHJLFEEFBGCDHC图aDEC图bD图c【考点】一笔画问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 图(1)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，连结BD，或者去掉BF都可以使图形能一笔画出．
图(2)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉KL，或者BK都可以使图形能一笔画出． 图(3)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉AB可以使图形能一笔画出．
一个K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道K笔画有2K个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点．如左下图中的B，C两个奇点在右下图中都变成了偶点．所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画．
4-1-5.奇妙的一笔画 题库 page 6 of 9
ABABDC【答案】
AB
DC
DC
【例 16】 如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅之间有门相通，并且设有入口．请问你能否从
入口进入一次不重复地穿过所有的门．如果可以，请指明穿行路线， 如果不能，应关闭哪个门就可以办到？
【考点】一笔画问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 可以将图中的五个小厅以及厅外的部分都抽象成点，为方便解题，给它们分别编号．这时，连通厅
与厅之间的门就相当于各点之间的连线．于是题目中餐厅平面图就抽象成为一个连通的图形，如下：
求穿形路线的问题就转化成一笔画的问题．在抽象出的图形中，我们可以找到四个奇点，即②、③、④和厅外，所以图形不能一笔画出也就是说，从入口进入不可能一次不重复的穿过所有的门．但根据一笔画问题的知识，只要关闭门，把③、④变为偶点，就可以办到，关闭B门，可行路线如上图。
【答案】关闭B门。
【例 17】 下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图．
EAD【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 不能一笔画出，因为图中有E H G
F四个奇点，连结EH就可以使图形一笔画出．
【答案】连结EH就可以使图形一笔画出
【例 18】 如图所示，某小区花园的道路为一个长480米，宽200米的长方形；一个边长为260米的菱形和十
4-1-5.奇妙的一笔画 题库 page 7 of 9
GBHCF 字交叉的两条道路组成．一天，王大爷A处进入花园，走遍花园的所有道路并从A处离开．如果他每分钟走60米，那么他从进入花园到走出花园最少要用 分．
A【考点】一笔画问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 根据一笔画的概念，因为道路图有四个奇点，所以王大爷是没法不重复地走完小区所有的道路回到A的，但可以对道路图作一些处理，相当于王大爷通过走重复的道路，完成一笔画，如下图：
A
道路的总路程为480?3?200?3?260?6?3600米，王大爷走完这些路要60分钟． 【答案】60分钟
【例 19】 某城市的交通系统由若干个路口（右图中线段的交点）和街道（右图中的线段）组成，每条街道
都连接着两个路口．所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值（标在图中相应的线段处）．一名邮递员传送报纸和信件，要从邮局出发经过他所管辖的每一条街道最后返回邮局（每条街道可以经过不止一次）．他合理安排路线，可以使得自己走过最短的总长度是 ．
【考点】一笔画问题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 根据一笔画的有关概念，道路图中有6个奇点，邮递员不可能不重复地走遍所有街道并返回邮局．但
可以对道路图作一些处理，相当于邮递员通过走重复的道路，完成一笔画，如下图：
邮局总路程为3?10?2?8?46．
【答案】46
【例 20】 18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两
条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A和一座半岛D，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？
【考点】一笔画问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 欧拉解决这个问题的方法非常巧妙．他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不
关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线．这样，一个实际问题就转化为一个几何图形(如下图)能否一笔画出的问题了．而图B中有4个
4-1-5.奇妙的一笔画 题库 page 8 of 9
奇点显然不能一笔画出． 【答案】不能
【巩固】如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一
次不重复地走遍这七座桥？
【考点】一笔画问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 能
【答案】能
【例 21】 一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，
要走遍各街道，最后回到邮局．怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？
【考点】一笔画问题 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 图中共有8 个奇点，必须在8 个奇点间添加4 条线，才能消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返
回邮局的一笔画．在距离最近的两个奇点间添加一条连线，如左下图中虚线所示，共添加4 条连线，这4 条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程30千米．走法参考右下图(走法不唯一)．
【答案】30千米
4-1-5.奇妙的一笔画 题库 page 9 of 9