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湖南工业大学本科毕业设计（论文）
式2-7中， K?U1/U2是理想变压器的一个变比参数，U1指的是变压器高，U2指的是低绕组的实际电压。由图2.2可以得到：
进而可得:
??U1???I?Z (2-8) ?U22TK???
U1U2YTU1YTU2??? I 1 ? K2ZTKZTK2K(2-9)
?U??UYU12T1?? (2-10) I2=-=-YUT2KZTZTK式2-9、2-10中YT?1/ZT，又通过标准节点的电流方程式得到如下形式:
?=Y?? (2-11) I111U1+Y12 U?+I -?2?Y21U1Y2? 2 (2-12) 2U将式2-10与2-11、2-12二者进行比较，可得：
Y11=YT/2K，Y12=-YT/K； (2-13)
/ K Y21=-Y，Y22=YT。 (2-14) T因此可得各支路导纳为：
????1-KYT? (2-15) Y10=Y11-Y12=2K?K-1?Y20=Y22-Y21=YT?K?用以上的方法可以得到用导纳表示的变压器，它的等值电路图如图2.3所示：
Y12=-Y21=YT/KY21=-Y12=YT/K
图2.3变压器的∏型等值电路（i，j为节点）
K
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2.1.3节点导纳矩阵的修改
图2.4纯电阻节点导纳的∏型等值电路（i，j为节点）
我们在电力系统的运算中，需要去计算各个的节点的运转情况，如：因投入某个支路的变压器导致影响节点导纳矩阵的数值。在这种情况下两个节点之间的变压器元件实际上只影响该支路两端节点的自导纳数值，并且两个节点本身的互导纳，如果需要来再次计算节点导纳矩阵未免太费时费力。这个时候只需要对原有的矩阵作某些适当的修改，即可形成正确的节点导纳矩阵。
如图，当在电力网络中遇到变压器时，我们可以用上节论述的节点导纳矩阵∏型等值电路模型，依据上述模型先形成纯电阻电路的节点导纳矩阵，以此为基础再形成带有变压器支路的导纳矩阵。通过对比纯电阻节点导纳矩阵和变压器π型等值电路，我们就能够计算出节点p和q之间的自导纳以及节点之间的互导纳增量如下：
节点p的自导纳改变量：
?Ypp?节点q的自导纳改变量：
?Yqq?11?k1?2?2 （2-17） kzkzkz1k?11?? （2-16） kzkzz增加节点p，q间的互导纳：
?Ypq?Yqp??1 （2-18） kz假设设接线改变前，纯电阻导纳矩阵元素为Yij(0)，那么在接线改变之后后变压器支路导纳矩阵就会变为Yij?Yij(0)??Yij。
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2.2高斯消去法
在电力系统潮流计算中得到雅可比矩阵后，我们的任务就是需要解一组线性方程，这个时候就需要用到高斯消去法。运用高斯消去法来求解解线性方程组，主要可以把它看作是两个过程，首先是需要进行消去运算，接下来是进行是回代运算。在一般情况下，我们在进行电力系统计算时经常使用的是：消去运是按照每一列来进行，回代运算是按照每一行来进行的。那么下面我们就来介绍一下高斯消去法，其他算法就可以以此类推。
假设现在有一个n阶线性方程组：AX=B。在这个方程组中矩阵A的元素可以为实数也可为负数，向量B的元素可以是实数也可以是复数。
因为消去运算只针对A、B来进行，那我们可以把B作为第n+1列放在A的后面，同时形成如下式中A一样的n??n?1?阶增广矩阵：
?a11?a? A??AB???21????an1a12?a1nb1??a11?a22?a2nb2????a21?????????an2?annbn???an1a12?a1na1,n?1??a22?a2na2,n?1? （2-19）
??????an2?annan，n?1???上式中用aj4n?1替代了bj(j?1,2,?,n)。 按列消去的过程、运算步骤如下所示：
第一步，消去第一列。
首先，把增广矩阵A的第一行化为 式中：
?1?a11???1??1??1? 1 a12 a13 … a1,n?1 （2-20）
a12 (j?2,3,?,n?1) （2-21） a11?然后，用式2-21所表示的行消去A的第一列对角线以下各个元素a21,a31,?,an1，消去后使得A的第2～n行其他元素转化为
?a1?1j??aij?ai1a1?1j? (j?2,3,?,n?1;i?2,3,?,n) （2-22）
在上面的公式中上标为（1）表示的是这个元素第一次运算的结果。这时矩阵A变为A1：
A1=?A1????1???1???1a12a1,n?1?a1?1n??1??1??1??aa?a222n2,n?1?B1?= ? （2-23） ????????1??1??1????an2?annan,n?1?? 7
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和他所对应的方程组是A1X?B1，这个方程组与AX=B有相同的解。在矩阵中没有标出的元素我们则认为他为0。
第二步，消去第二列。
首先，把增广矩阵A1的第二行规格化为
?2??2?0 1 a23 … a2,n?1 （2-24）
?式中：
?2??1??1?a2j?a2j/a22 (j?3,4,?,n?1) （2-25）
?1??1?，…，a?1?，上面公式2-24表示的行消去A1的第二列对角线以下各元素a32，a42n2??消去后使得A1的第3～n行其他元素转化为
?2??1??1??2?;i?3,4,?,n) （2-26） a1j?a1j?ar2a2j (j?3,4,?,n?1在公式中：上标为（2）表示该元素的第二次运算之后得到的结果。然后在这时矩阵A1变为A2：
?1??1a12?1?B2?= ??????1??a?1??a13?a1?11,n?1n?2??2?a?2??a23?a22,n?1?n?2??2?a?3?? （2-27） a33?a33,n?1n???????2??2??2??anan,n?1??ann3??A2=?A2?一般地，要进行下述的运算，来消去k列：
?k??k?1??k?1? akj (j?k?1,?n?1) （2-28） ?akj/akk?k??k?1??k?1??k?,?,n?1;i?k?1,?,n? （2-29） akj?akj?a1kakj ?j?k?1紧接着，对上面的矩阵A进行了n次消去运算，矩阵A对角线以下的元素全部化为0，即可得到下面所写的增广矩阵：
?1??1a13??2??a23Bn?= ?1?????a?1???a1?11,n?1n?2?a?2???a22,n?1?n?3?a?3?? （2-30） ?a33,n?1n??????n??1an,n?1??An-?An?
与之对应的方程组是
AnX?Bn， （2-31）
即
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