发布时间 : 星期日 文章(江苏专版)2018年高考数学二轮复习6个解答题专项强化练(四)数列更新完毕开始阅读
都成立．
1
4．已知数列{an}满足a1＝，对任意的正整数m，p，都有am＋p＝am·ap.
2(1)证明：数列{an}是等比数列；
(2)若数列{bn}满足an＝－2＋3－4＋…＋(－1)
2＋12＋12＋12＋1通项公式；
(3)在(2)的条件下，设cn＝2＋λbn，则是否存在实数λ，使得数列{cn}是单调递增数列？若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：∵对任意的正整数m，p，都有am＋p＝am·ap，∴令m＝n，p＝1，得an＋1
＝a1·an，
从而
nb1b2b3b4
n＋1
，求数列{bn}的2＋1
nbnan＋11
＝a1＝， an2
1
∴数列{an}是首项和公比都为的等比数列．
21
(2)由(1)可知，an＝n.
2由an＝
－2＋3－4＋…＋(－1)2＋12＋12＋12＋1
b1b2b3b4
n＋1
得， 2＋1
nbnan－1＝
－2＋3－4＋…＋(－1)·n－1(n≥2)， 2＋12＋12＋12＋12＋1
n＋1
b1b2b3b4
nbn－1
故an－an－1＝(－1)
(n≥2)，
2＋1
nbn?n?1
故bn＝(－1)?n＋1?(n≥2)．
?2?
b13
当n＝1时，a1＝，解得b1＝，不符合上式．
2＋12
3
??2，n＝1，∴b＝?
?1＋1?，n≥2，n∈N.－1?2?????
nnn*
(3)∵cn＝2＋λbn，
n?nn?1
∴当n≥2时，cn＝2＋(－1)?n＋1?λ，
?2?
当n≥3时，cn－1＝2
n－1
＋(－1)
n－1
1?n?
?2－1＋1?λ， ??
2?3?n根据题意，当n≥3时，cn－cn－1＝2＋(－1)λ·?2＋n?>0，即(－1)λ>－
3?2?
n－1
nn－1
2
2
①当n为大于等于4的偶数时，有λ>－恒成立，
3n＋22
n－1
. n＋2
?2?2?min＝128，即λ>－128， 又随着n的增大而增大，此时?3
?n＋2?335352??n＋2
2
n－1
n－1
?128?故λ的取值范围为?－，＋∞?. ?35?
2
②当n为大于等于3的奇数时，有λ<恒成立，
3n＋22
n－1
?2??min＝32，即λ<32. 此时?3
?n＋2?1919?2?
32??故λ的取值范围为?－∞，?；
19??
n－1
?25??3?③当n＝2时，由c2－c1＝?2＋λ?－?2＋λ?>0，得λ<8.
4??2???12832?综上可得，实数λ的取值范围为?－，?. ?3519?
5．已知各项不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝panan＋1(n∈N)，p∈R. (1)若a1，a2，a3成等比数列，求实数p的值； (2)若a1，a2，a3成等差数列， ①求数列{an}的通项公式；
②在an与an＋1间插入n个正数，共同组成公比为qn的等比数列，若不等式(qn)
a)
(n＋1)(n＋
*
≤e(e为自然对数的底数)对任意的n∈N恒成立，求实数a的最大值． 1
解：(1)当n＝1时，a1＝pa1a2，a2＝；
*
p当n＝2时，a1＋a2＝pa2a3，a3＝
a1＋a21
＝1＋. pa2p1122
由a2＝a1a3，得2＝1＋，即p＋p－1＝0，
pp－1±5
解得p＝.
2
1
(2)①因为a1，a2，a3成等差数列，所以2a2＝a1＋a3，得p＝，故a2＝2，a3＝3，
2
1
所以Sn＝anan＋1.
2
11
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝anan＋1－an－1an，
22因为an≠0，所以an＋1－an－1＝2.
故数列{an}的所有奇数项组成以1为首项，2为公差的等差数列， 其通项公式an＝1＋?
?n＋1－1?×2＝n， ?
?2?
n同理，数列{an}的所有偶数项组成以2为首项，2为公差的等差数列，
??其通项公式是an＝2＋?－1?×2＝n， ?2?
所以数列{an}的通项公式是an＝n.
②由①知，an＝n，在n与n＋1间插入n个正数，组成公比为qn的等比数列，故有n＋1＝nqn，
即qn＝?
n＋1
?n＋1?1，
??n?n＋1
(n＋1)(n＋a)
所以(qn)
≤e，即?
?n＋1?n＋a≤e，两边取对数得(n＋a)ln?n＋1?≤1，
??n??n???
分离参数得a≤
1
－n恒成立 . n＋1??ln??
?n?
令
n＋111
＝x，x∈(1,2]，则a≤－，x∈(1,2]， nln xx－1
11令f(x)＝－，x∈(1,2]，
ln xx－1
x－1
ln x－
x则f′(x)＝2
ln xx－1
2
2
2
，
下证ln x≤
x－1
，x∈(1,2], x2
1x－1
令g(x)＝x－－2ln x，x∈[1，＋∞), 则g′(x)＝2
xxx>0，所以g(x)>g(1)＝0，
1x－1即2ln x xx－1 ln x－ x所以f′(x)＝2 ln xx－1 2 2 2 <0， 所以f(x)在(1,2]上递减， 所以a≤f(2)＝ 1 －1. ln 2 1 所以实数a的最大值为－1. ln 2 6．设三个各项均为正整数的无穷数列{an}，{bn}，{cn}．记数列{bn}，{cn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N，都有an＝bn＋cn，且Sn＞Tn，则称数列{an}为可拆分数列． (1)若an＝4，且数列{bn}，{cn}均是公比不为1的等比数列，求证：数列{an}为可拆分数列； (2)若an＝5n，且数列{bn}，{cn}均是公差不为0的等差数列，求所有满足条件的数列{bn}，{cn}的通项公式； (3)若数列{an}，{bn}，{cn}均是公比不为1的等比数列，且a1≥3，求证：数列{an}为可拆分数列． 解：(1)证明：由an＝4＝4·4 nn－1 n* ＝3·4 n－1 ＋4 n－1 ，令bn＝3·4 n－1 ，cn＝4 n－1 . 则{bn}是以3为首项，4为公比的等比数列，{cn}是以1为首项，4为公比的等比数列， 4－1 故Sn＝4－1，Tn＝. 3 nn所以对任意的n∈N，都有an＝bn＋cn，且Sn>Tn. 所以数列{an}为可拆分数列． (2)设数列{bn}，{cn}的公差分别为d1，d2. 由an＝5n，得 * b1＋(n－1)d1＋c1＋(n－1)d2＝(d1＋d2)n＋b1＋c1－d1－d2＝5n对任意的n∈N*都成立． ??d1＋d2＝5，所以? ??b1＋c1－d1－d2＝0， ??d1＋d2＝5， 即???b1＋c1＝5， ① 由Sn>Tn，得nb1＋ nn－1 2 d1d2?nn－1?d1d2??d1>nc1＋d2，则?－?n2＋?b1－c1－＋?n>0. 2 ?22?? 2 2? ????* 由n≥1，得?－?n＋?b1－c1－＋?>0对任意的n∈N成立． 22??22?? 则－≥0且?－?＋?b1－c1－＋?>0即d1≥d2且b1>c1. ② 22?22?22??由数列{bn}，{cn}各项均为正整数，则b1，c1，d1，d2均为正整数， 5* 当d1＝d2时，由d1＋d2＝5，得d1＝d2＝?N，不符合题意，所以d1>d2. ③ 2 ??d1＝4，d2＝1， 联立①②③，可得? ?b1＝4，c1＝1???d1＝3，d2＝2， 或? ?b1＝4，c1＝1? d1d2d1d2 d1d2 ?d1d2??d1d2? ??d1＝4，d2＝1， 或? ?b1＝3，c1＝2? ??d1＝3，d2＝2， 或? ?b1＝3，c1＝2.?