发布时间 : 星期五 文章第六章 不等式6.5更新完毕开始阅读
1．绝对值三角不等式
(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|
不等式 |x|a
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c；
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|x＋2|的几何意义是数轴上坐标为x的点到点2的距离．( × ) (2)|x|>a的解集是{x|x>a或x<－a}．( × ) (3)|a＋b|＝|a|＋|b|成立的条件是ab≥0.( √ )
a>0 (－a，a) (－∞，－a)∪ (a，＋∞) a＝0 ? (－∞，0)∪ (0，＋∞) a<0 ? R (4)若ab<0，则|a＋b|<|a－b|.( √ )
(5)对一切x∈R，不等式|x－a|＋|x－b|>|a－b|成立．( × )
1．(2015·山东)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( ) A．(－∞，4) C．(1,4) 答案 A
解析 ①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.
②当1 ③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立． 综上，原不等式的解集为(－∞，4)． 2．不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集为R，则实数k的取值范围为( ) A．(3，＋∞) C．(－∞，－1) 答案 B 解析 根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式等价于|PA|－|PB|>k恒成立．∵|AB|＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3. 故当k<－3时，原不等式恒成立． 3．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是( ) A．[2,4] C．[－2,4] 答案 C 解析 ∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|， 要使|x－a|＋|x－1|≤3有解， 可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4. 4．(2015·重庆)若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________. 答案 4或－6 解析 由于f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|， 当a>－1时， f(x)＝ B．[1,2] D．[－4，－2] B．(－∞，－3) D．(－∞，0) B．(－∞，1) D．(1,5) －3x＋2a－1 ?x<－1?，?? ?－x＋2a＋1?－1≤x≤a?，??3x－2a＋1?x>a?. 作出f(x)的大致图象如图所示，由函数f(x)的图象可知f(a)＝5，即a＋1＝5，∴a＝4. 同理，当a≤－1时，－a－1＝5，∴a＝－6. 15．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是______． 21 答案 [－1，] 2 解析 设y＝|2x－1|＋|x＋2| ? ?－x＋3，－2≤x<1， 2＝? 1?3x＋1，x≥.?2 －3x－1，x<－2， 当x<－2时，y＝－3x－1>5； 1515 当－2≤x<时，5≥y＝－x＋3>；当x≥时，y＝3x＋1≥，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小 22225151 值为.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.解不 22225111等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故a的取值范围为[－1，]． 2222 题型一 绝对值不等式的解法 例1 (2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0. (1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集； (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围． 解 (1)当a＝1时， f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0. 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解； 2 当－1 3当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2. ?2? ? ? x－1－2a，x<－1，?? (2)由题设可得，f(x)＝?3x＋1－2a，－1≤x≤a， ??－x＋1＋2a，x>a. 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A?a＋1)， 2 △ABC的面积为(a＋1)2. 32 由题设得(a＋1)2>6，故a>2. 3所以a的取值范围为(2，＋∞)． 思维升华 解绝对值不等式的基本方法有： 2a－1? ?3，0?，B(2a＋1,0)，C(a， (1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解． (1)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________． 31 (2)设不等式|x－2| 22答案 (1){x|x≤－3或x≥2} (2)1 解析 (1)方法一 要去掉绝对值符号，需要对x与－2和1进行大小比较，－2和1可以把数轴分成三部分．当x<－2时，不等式等价于－(x－1)－(x＋2)≥5，解得x≤－3；当－2≤x<1时，不等式等价于－(x－1)＋(x＋2)≥5，即3≥5，无解；当x≥1时，不等式等价于x－1＋x＋2≥5，解得x≥2.综上，不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}． 方法二 |x－1|＋|x＋2|表示数轴上的点x到点1和点－2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点－2的距离的和为5的点有－3和2，故满足不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的x的取值为x≤－3或x≥2，所以不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}． 31 (2)∵∈A，且?A， 22