发布时间 : 星期四 文章2018年吉林省长春市高考数学三模试卷更新完毕开始阅读
P ．（12分）
【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列的概率与数学期望计算公式、分层抽样，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（12分）（2017?长春三模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点． （1）求证：PD⊥平面ABE； （2）若F为AB中点，﹣B的余弦值为
．
，试确定λ的值，使二面角P﹣FM
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE． （II） 以A为原点，以
为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系
A﹣BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．
【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE?平面ABE，AB?平面ABE，∴PD⊥平面ABE． （II） 以A为原点，以A﹣BDP，令|AB|=2，
为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），（2λ，2λ，2﹣2λ） 设平面PFM的法向量
设平面BFM的法向量即
，
，
，解得
．
，
，
，即
，
，
，
，M
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
20．（12分）（2017?长春三模）已知F1，F2分别是长轴长为
的椭圆C：
的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异
于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线C（2，2，0）交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与B（2，0，0）轴交于点N，点N横坐标的取值范围是
．
，求线段AB长的取值范围．
【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）由已知2a=2得kOM?出．
x2+4k2x+2k2﹣2=0，（2）设直线l：y=k（x+1），联立直线与椭圆方程得（2k2+1）记A（x1，y1），B（x2，y2）．利用根与系数的关系、中点坐标公式、弦长公式即可得出．
【解答】解：（1）由已知2a=2∵kOM=
，∴kOM?
=
?
，解得a==
?
，记点P（x0，y0），
=
，
=
?
，解得a=
，记点P（x0，y0），kOM=
，可
利用斜率计算公式及其点P（x0，y0）在椭圆上，即可得
又点P（x0，y0）在椭圆上，故
+
=1，∴kOM?=﹣=﹣，
∴
，∴b2=1，∴椭圆的方程为
．（4分）
（2）设直线l：y=k（x+1），联立直线与椭圆方程，
得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，记A（x1，y1），B（x2，y2）．
由韦达定理可得，
可得，
故AB中点，
QN直线方程：，
∴，已知条件得：
，∴0＜2k2＜1，
∴，
∵，∴．（12分）
【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、中点坐标公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．（12分）（2017?长春三模）已知函数（1）求f（x）的极值；
（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；
（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f（x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值即可； （2）问题转化为证明（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），根据函数的单调性证明即可． 【解答】解：（1）f′（x）=
，f（x）的定义域是（0，+∞），
．
x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减． 当x=e时，f（x）取极大值为，无极小值． （2）要证f（e+x）＞f（e﹣x），即证：
只需证明：（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x）． 设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），
， ，