发布时间 : 星期四 文章2018年吉林省长春市高考数学三模试卷更新完毕开始阅读
．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由条件可求得直线kx﹣3y+3=0恒过圆内定点（0，1），则圆心（1，3）到定点的距离为
，因此最短弦长为
．
1）【解答】解：由条件可求得直线kx﹣3y+3=0恒过圆内定点（0，，则圆心（1，3）到定点（0，1））的距离为
，当圆心到直线kx﹣3y+3=0的距离最大时（即
等于圆心（1，3）到定点（0，1））的距离）所得弦长的最小，因此最短弦长为2
=
． ．
故答案为：2
【点评】题考查直线和圆的位置关系，以及最短弦问题，属于中档题
16．过双曲线
﹣
=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与
，则双曲线的离心率为
．
两渐近线相交于A，B两点，若【考点】双曲线的简单性质．
【分析】方法一、运用两渐近线的对称性和条件，可得A为BF的中点，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得Rt△OAB中，∠AOB=线的斜率，运用离心率公式即可得到； 方法二、设过左焦点F作
的垂线方程为
，联立渐近线方程，求
，求得渐近
得交点A，B的纵坐标，由条件可得A为BF的中点，进而得到a，b的关系，可得离心率． 【解答】解法一：由
，
则Rt△OAB中，∠AOB=渐近线OB的斜率k==tan即离心率e==
=
， =．
，
，可知A为BF的中点，由条件可得
解法二：设过左焦点F作的垂线方程为
联立，解得，，
联立，解得，，
又
，∴yB=﹣2yA∴3b2=a2，
．
．
所以离心率故答案为：
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，主要是离心率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量共线的合理运用．
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17．（12分）（2017?长春三模）已知点标原点，函数
．
，Q（cosx，sinx），O为坐
（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；
（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值． 【考点】平面向量数量积的运算；基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用．
【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解最值．
（2）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值． 【解答】解：（1）∵∴
，
，
∴当
（2）∵f（A）=4，∴又∵BC=3，∴∴9=（b+c）2﹣bc．
时，f（x）取得最小值2．
，
， ，
∴∴
，
，当且仅当b=c取等号，
．
∴三角形周长最大值为
【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的最值，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力．
18．（12分）（2017?长春三模）某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机用户（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下： 女性用户 分值区间 频数 男性用户 分值区间 频数 45 75 90 60 30 20 40 80 50 10 [80，90） [90，100] [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] [50，60） [60，70） [70，80）（1）完成下列频率分布直方图，并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定（不计算具体值，给出结论即可）；
（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（I）根据已知可得频率，进而得出矩形的高=
，即可得出图形．
（II）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于8（0分）有6人，其中评分小于9（0分）的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于9（0分）的人数为X，则X取值为1，2，3，利用超几何分布列的计算公式即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：
由图可得女性用户更稳定．（4分）
（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于8（0分）有6人，其中评分小于9（0分）的人数为4，从6人中任取3人，记评分小于9（0分）的人数为X，则X取值为1，2，3，
；P（X=2）=
=；
所以X的分布列为 X 1 2 ．
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