发布时间 : 星期日 文章2020-2021高中三年级数学下期末模拟试卷(及答案)(19)更新完毕开始阅读
?x??cos?（I）将?代入曲线C极坐标方程，化简后可求得对应的直角坐标方程.（II）
y??sin??将直线的参数方程代入曲线方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的倾斜角或斜率，由此求得直线l的普通方程. 【详解】
?x??cos?解：（Ⅰ）将?代入曲线C极坐标方程得：
y??sin??曲线C的直角坐标方程为：x?y?4?4x?2y 即?x?2???y?1??9
（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线方程：
2222?tcos??2???tsin??1?22?9
整理得t2?4tcos??2tsin??4?0 设点A，B对应的参数为t1，t2， 解得t1?t2?4cos??2sin?，t1?t2??4 则AB?t1?t2??t1?t2?2?4t1t2??4cos??2sin??2?16?25 3cos2??4sin?cos??0，因为0????
得???2或tan??33，直线l的普通方程为y?x和x=0 44【点睛】
本小题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查利用直线的参数方程来求弦长有关的问题，属于中档题.
x2y222?y0?13. 22．（1）??1；（2）x094【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）利用题中条件求出c的值，然后根据离心率求出a的值，最后根据a、
b、c三者的关系求出b的值，从而确定椭圆C的标准方程；（2）分两种情况进行计算：
第一种是在从点P所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为k1、
k2，并由两条切线的垂直关系得到k1k2??1，并设从点P?x0,y0?所引的直线方程为
y?k?x?x0??y0，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用
??0得到有关k的一元二次方程，最后利用k1k2??1以及韦达定理得到点P的轨迹方
程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P的坐标，并验证点P是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点P的轨迹方程.
（1）由题意知
55??a?3，且有a3，即32?b2?5，解得b?2，
x2y2因此椭圆C的标准方程为??1；
94（2）①设从点P所引的直线的方程为y?y0?k?x?x0?，即y?kx??y0?kx0?， 当从点P所引的椭圆C的两条切线的斜率都存在时，分别设为k1、k2，则k1k2??1， 将直线y?kx??y0?kx0?的方程代入椭圆C的方程并化简得
?9k2?4?x2?18k?y0?kx0?x?9?y0?kx0??36?0，
2?化简得?y?kx??9k?4?0，即?x?9?k?2kxy??y?4??0，
则k、k是关于k的一元二次方程?x?9?k?2kxy??y?4??0的两根，则
222??????18ky?kx?4?9k?49y?kx?00???00??36?0， ????220020200201220200202y0?4k1k2?2??1，
x0?922化简得x0?y0?13；
②当从点P所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P的坐标为??3,?2?，此时点P也在圆
x2?y2?13上.
综上所述，点P的轨迹方程为x?y?13.
考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用?的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.
23．（1）f?x??x?2x?4x?5；（2）13。
3222【解析】 【分析】
（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数f（x）在x=-2时有极值即可列出关于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，从而得到f （x）的表达式．
（2）先求函数的导数f′（x），通过f′（x）＞0，及f′（x）＜0，得出函数的单调性，进一步得出函数的最值即可． 【详解】
（1）依题意，f??x??3x?2ax?b，且f?1??4，f??1??3，f???2??0，
2?1?a?b?c?4?∴?3?2a?b?3，解得a?2，b??4，c?5． ?12?4a?b?0?∴f?x??x?2x?4x?5．
32（2）由（1）知f??x??3x?4x?4，
2令f??x??0，得x?∴当x??2或x?2或x??2． 322时，f?x?为增函数；当?2?x?时，f?x?为减函数． 33∴f?x?在x??2时取极大值，f??2??13． 又∵f?1??4，
∴函数f?x?在区间?3,1上的最大值为13． 【点睛】
本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识，考查计算能力，属于中档题． 24．（Ⅰ）
为圆心是（
，半径是1的圆.
为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长
半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. （Ⅱ）【解析】 【分析】 【详解】 （1）为圆心是
，半径是1的圆，
??
为中心是坐标原点，焦点在轴，长半轴长是8，
短半轴长是3的椭圆. （2）当
时，
，到
，故的距离
.
的普通方程为所以当
时，取得最小值
考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程. 25．（I）丙级；（Ⅱ）①【解析】 【分析】
（I）以频率值作为概率计算出相应概率，再利用判定规则的三个式子得出判断设备的性
；②
.
能等级。
（Ⅱ）先根据题意将次品件数求出。①根据题意知，这种抽取实验是服从二项分布的，根据二项分布的期望公式可求出值的概率，进而求出【详解】 （I）
，
由图表知，
，，
所以该设备的级别为丙级.
（Ⅱ）①从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率是依题意，～
，故
.
，
，
，
，
，
，
，
。
。②根据古典概型求概率的公式，可以求出的每种取
②从100件样品中任取2件，次品数的可能取值为0，1，2，
，
故【点睛】
对于（Ⅱ）问题①是二项分布（次独立重复试验中，事件A发生的次数期望为
）利用公式得出
。
，其
.
，
，
26．（1）证明见解析；（2）【解析】 【分析】
1. 12（1）连接PF，BD由三线合一可得AD⊥BF，AD⊥PF，故而AD⊥平面PBF，于是AD⊥PB； （2）先证明PF⊥平面ABCD，再作PF的平行线，根据相似找到G，再利用等积转化求体积． 【详解】 连接PF，BD,