发布时间 : 星期三 文章2020-2021备战中考数学培优专题复习锐角三角函数练习题附答案更新完毕开始阅读
而 CP＝BC+BP， ∴BF﹣BP＝BC，
在Rt△CDE中，∠DEC＝90°，
CE， DE∴CE＝DEtanα，
∴tan∠CDE＝
∴BC＝2CE＝2DEtanα， 即BF﹣BP＝2DEtanα． 【点睛】
本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP≌△DBF是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．
15．如图，Rt△ABC，CA⊥BC，AC＝4，在AB边上取一点D，使AD＝BC，作AD的垂直平分线，交AC边于点F，交以AB为直径的⊙O于G，H，设BC＝x． （1）求证：四边形AGDH为菱形； （2）若EF＝y，求y关于x的函数关系式； （3）连结OF，CG．
①若△AOF为等腰三角形，求⊙O的面积；
②若BC＝3，则30CG+9＝______．（直接写出答案）．
【答案】（1）证明见解析；（2）y＝π；②421． 【解析】 【分析】
1216x（x＞0）；（3）①π或8π或（217+2）83（1）根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；
AEEF?解决问题； ACBC（3）①分三种情形分别求解即可解决问题；
（2）只要证明△AEF∽△ACB，可得②只要证明△CFG∽△HFA，可得【详解】
（1）证明：∵GH垂直平分线段AD，
GFCG=，求出相应的线段即可解决问题； AFAH∴HA＝HD，GA＝GD， ∵AB是直径，AB⊥GH， ∴EG＝EH， ∴DG＝DH， ∴AG＝DG＝DH＝AH， ∴四边形AGDH是菱形． （2）解：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠ACB＝90°， ∵∠EAF＝∠CAB， ∴△AEF∽△ACB， ∴
AEEF?， ACBC1xy， ∴2?4x1∴y＝x2（x＞0）．
8（3）①解：如图1中，连接DF．
∵GH垂直平分线段AD， ∴FA＝FD，
∴当点D与O重合时，△AOF是等腰三角形，此时AB＝2BC，∠CAB＝30°， ∴AB＝
83， 3∴⊙O的面积为
16π． 3如图2中，当AF＝AO时，
∵AB＝AC2?BC2＝16?x2，
216?x∴OA＝， 2?1??1?∵AF＝EF2?AE2＝?x2????， ?8??2?∴
2216?x2?1??1?＝?x2????， 2?8??2?22解得x＝4（负根已经舍弃）， ∴AB＝42， ∴⊙O的面积为8π．
如图2﹣1中，当点C与点F重合时，设AE＝x，则BC＝AD＝2x，AB＝16?4x2，
∵△ACE∽△ABC， ∴AC2＝AE?AB， ∴16＝x?16?4x2，
解得x2＝217﹣2（负根已经舍弃）， ∴AB2＝16+4x2＝817+8， ∴⊙O的面积＝π?
1?AB2＝（217+2）π 4综上所述，满足条件的⊙O的面积为②如图3中，连接CG．
16π或8π或（217+2）π； 3
∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°， ∴AB＝5， ∴OH＝OA＝∴AE＝
5， 23， 22∴OE＝OA﹣AE＝1，
21?5?∴EG＝EH＝???1＝， 2?2?∵EF＝∴FG＝
129x＝， 881521930﹣，AF＝AE2?EF2＝，AH＝AE2?EH2＝，
8822∵∠CFG＝∠AFH，∠FCG＝∠AHF， ∴△CFG∽△HFA， ∴
GFCG?， AFAH∴
219?28?CG， 153082270330﹣，
105∴CG＝∴
30CG+9＝421．
故答案为421． 【点睛】