发布时间 : 星期六 文章小学5-6年级杯赛奥数详解更新完毕开始阅读
【切分图形】
例1 请将图5.78分成面积相等，形状相同，且每一块中都含有“数学竞赛”字样的四块图形。
（“新苗杯”小学数学竞赛试题）
讲析：从条件看，所分成的每一块图中，必须有四个小正方形，且只有五种（如图5.79）。
根据图中汉字的具体位置，可发现图5.79中图（1）、图（2）明显不合，图（3）、图（4）也不能分成。于是只剩下图（5）。
进一步搜索，便可得到答案。答案如图5.80所示。
例2 在一张正方形纸上画两个三角形，最多可以把这个正方形分成________块，画三个三角形，最多可以把这个正方形分成________块；画四个三角形，最多可以把这个正方形分成_________块。 （1990年无锡市小学数学竞赛试题） 讲析：可先找出规律。
在正方形纸上，画一个三角形，依次画三条边时，增加了（1＋1＋1）块，最多可把它分成4块；画二个三角形，依次画三条边时，增加了（3＋3＋3）块，共13块；画三个三角形，依次画三条边时，增加了（5＋5＋5）块，共28块，如图5.81所示。
由此推得，画四个三角形，可增加（7＋7＋7）块，最多，共49块。
【拼合图形】
例1 图5.82是由图5.83中的六块图形拼合而成的，其中图①放在中间一列的某一格。请在图5.82中找出这六个图形，并画出来。
17
（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛试题）
讲析：可先确定图①的位置。因为图①在中间的一列的某一格，当图①放在A、B、C处时，经试验，与其它五图不能拼成图5.82。
当图①放在D处时，这六幅图可以拼成图5.82。拼法如图5.84所示。
例2 7块正方体积木堆在桌上。
从东、南、西、北四个方向看去，所看到的一面都只有5个正方形，而且看到的图案是一样的。（如图5.85）。那么从上面看下去，看到的图形可能是什么
样的？请在图5.86中正确的图形下面打
“√”，错误的图形下面打“×”。（《从小爱数学》邀请赛第五届试题）
讲析：上面的七幅图都是俯视图。在看每幅图是否正确时，关键是想象出将另两块积木，放在这五块中哪两块的上面，然后分别从东西南北四个方向去看，得出的图形是否与图5.85相吻合。
经试验，得出的答案如图5.86所示，即按从左往右，从上至下的位置，依次为√、√、×、√、×、√、√。
省工省时问题
例1 某车队有4辆汽车，担负A、B、C、D、E、F六个分厂的运输任) N/ ?+ O# T- ~5 U5 ^+ s5 w
18
（图5.97所标出的数是各分厂所需装卸工人数）。若各分厂自派装卸工，则共需33人。若让一部分人跟车装卸，在需要装卸工人数较多的分厂再配备一个或几个装卸工，那么如何安排才能既保证各分厂所需工人数，又使装卸工人数最少？
（1990年《小学生报》小学数学竞赛试题）
讲析：可从需要工人数最少的E分厂着手。假定每辆车上配备3人，则需在D、C、B、A、F五处分别派1、5、2、3、4人，共需27人。* Z3 d, m7 Q6 s. H/ [
若每车配备4人，则需在C、B、A、F四处分别派4、1、2、3人，共需26人。# u; t% t' S4 n) d, Y1 `* d
若每车配备5人，则需在C、A、F三处分别派3、1、2人，共需26人。
所以，上面的第二、三种方案均可，人数为26人。& W D4 p4 u. a) }4 k\
例2 少先队员在植树中，每人植树2棵。如果一个人挖一个树坑需要25分钟，运树苗一趟（最多可运4棵）需要20分钟，提一桶水（可浇4棵树）需要10分钟，栽好一棵树需要10分钟，现在以两个人为一个小组进行合作，那么，完成植树任务所需的最短时间是______分钟。 （福州市鼓楼区小学数学竞赛试题）
讲析：可将甲、乙两人同时开始劳动的整个过程安排，用图5.98来表示出来。5 g1 d; d) y1 x- ?- o, O6 J
由图可知，完成任务所需的最短时间，是85分钟。0 h2 Q* h0 ` D4 A, g1 I$ A
例3 若干箱同样的货物总重19.5吨，只知每箱重量不超过353千克。今有载重量为1.5吨的汽车，至少需要______辆，才能保证把这些货物一次全部运走。（箱子不能拆开）/ x- |$ m+ ~! p% p （北京市第七届“迎春杯”小学数学竞赛试题）
讲析：关键是要理解“至少几辆车，才能保证一次运走”的含义。也就是说，在最大浪费车位的情况下，最少要几辆车。
∵这堆货物箱数至少有：2 v% \\- b' {6 B\ 19500÷353≈55.2≈56（箱）；; l- \\0 ^8 b: z8 V7 ` 一辆汽车每次最多能装的箱数： 1500÷353≈4.2≈4（箱）。
∴一次全部运走所有货物，至少需要汽车56÷4=14（辆）。8 u' ~3 l+ b q Z4 o 例4 如图5.99，一条公路（粗线）两侧有7个工厂（01、02、??、07），通过小路（细线）分别与公路相连于A、B、C、D、E、F点。现在要设置一个车站，使各工厂（沿小路和公路走）的距离总和越小越好。这个车站应设在一______点。
（1992年福州市小学数学竞赛试题）7 E6 x u* ~. C\
19
讲析：从各工厂到车站，总是先走小路，小路的总长不变，所以问题可转化为：“在一条公路上的A、B、C、D、E、F处各有一个工厂，D处有两个工厂。要在公路上设一个站，使各厂到车站的距离总和最小（如图5.100）。; D& Q6 |9 Y; d# ?# m
显然，车站应设在尽量靠七个厂的中间部位。
如果车站设在D处，则各厂到D总长是：6 K5 j7 X- P4 W; e （DA＋DF）＋（DB＋DE）＋DC=AF＋BE＋DC； 如果车站设在C处，则各厂到C总长是
（CA＋CF）＋（BC＋CE）＋2·DC＝AF＋BE＋2·DC。9 k \\6 h1 z4 k! f2 G k
比较上面两个式子得：当车站设在D处时，七厂到车站的距离总和最小。8 S. E2 z0 ~2 `+ P0 o. P; _# @
【费用最少问题】
例1 在一条公路上每隔100千米有一个仓库（如图5.101），共有五个仓库。一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要0.5元的运费，那么最少要花多少运费才行？$ I/ }5 S% x8 H: a. ^% e- p8 B
（全国第一届“华杯赛”复赛试题）
讲析：这类问题思考时，要尽量使运这些货物的吨千米数的和最小。处理的方法是：“小往大处靠”。/ K* m9 ?- G2 R6 E
因为第五个仓库有40吨，比第一、二仓库货物的总和还多。所以，尽量把第五个仓库的货不动或者动得最近。
当存放站设在第四仓库时，一、二、五仓库货物运输的吨千米数为： 10×300＋20×200＋40×100=11000；
当存放站设在第五仓库时，一、二仓库货物运输的吨千米数为： 10×400+20×300=10000。
所以，存放点应设在第五号仓库，运费最少。运费是0.5×10000=5000（元）。 例2 有十个村，坐落在从县城出发的一条公路上（如图（5.102，单位：千米），要安装水管，从县城送自来水到各村，可用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村用水，细管只能供一个村用水，粗管每千米要用8千元，细管每千米要用2千元。把粗管细管适当搭配，互相连接，可降低工程总费用。按最节省的办法，费用应是多少？7 ?& Z5 D/ i4 i8 S6 ]
（全国第一届“华杯赛”决赛第二试试题）$ J y; M+ Q' I, ~* Y5 b1 {
讲析：因为粗管每千米的费用是细管的4倍，所以应该在需要安装四根或四根以上水管的地段，都应安装粗管。因此，只有到最后三个村安装细管，费用才最省。
20