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建 筑 力 学 讲 义
扭转内力:扭矩T。
1）简化截面法：扭矩T=ΣM一侧
(截面一侧所有外力偶矩代数和，左上右下取正号)
例 传动轴如图4-5a所示，主动轮A输入功率NA=36.7千瓦，从动轮B、C、D输出功率分别为NB=NC=11千瓦，ND=14.7千瓦，轴的转速为n?300r/min。画轴扭矩图。
解：(1)计算各轮外力偶矩MA=9550NA/n=1170Nm MB= MC=9550NB/n=351Nm，MD=9550ND/n=468Nm (2)截面法计算各段扭矩。
BC段:T1= - MB= -351Nm(负号,实际扭矩与所设相反)
CA段: TII= - MB- MC = -702Nm AD段: TIII= MD =468Nm
与轴力图相类似,最后画出扭矩图,Tmax?702N?m。 对上述传动轴，若把主动轮A安置于轴的一端（现为右端），则轴的扭矩图如图4-6所示。这时，轴的最大扭矩Tmax?1170N?m。 合理布局：主动轮在中间，二侧从动轮功率尽可能均衡。
§8-5 圆轴扭转时的应力和变形
1、实验现象观测和分析
如图所示受扭圆轴，如用一系列平行的纵线与圆周线将圆轴表面分成一个个小方格，可以观察到受扭后表面变形有以下规律：
（1）圆周线形状、大小不变，圆周线间距离不变，各圆周线绕轴线相对转过一微
小转角。这表明，其横截面和包含轴线的纵向截面上只有剪应力没有正应力， （2）纵线倾斜同一微小角度γ,使矩形变成平行四边形,表明圆周上各点剪应变相等. 2、圆轴扭转时的应力 ；平面假设：
变形前横截面,变形后仍为圆形平面, 只是各截面绕轴线相对转了一个角度。
d?1）变形几何关系:
距轴线?处剪应变????(a)用相距dx的两个横截面，和通过轴线的两个纵截 dx
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园轴表面剪应变??Rd?dx建 筑 力 学 讲 义
面截取楔形微元，变形后两横截面相对转角dθ, 2）物理关系
d???G??G?(c)剪应力??与该点到圆心的距离?成正比。剪切胡克定理代入 ??dx
3）静力关系：横截面内扭矩T是??dA的合力矩:
d? d??2dA?Gd?IpT?m ?????dA???2G dA?G?AAAdxdxdx
即d?T?dxGIp(e)
T?2(e)式代回（c）得横截面上任意点的剪应力 ? ? ? 式中极惯性矩 I p ? ? dA
2、圆轴扭转时的变形 由式（e）单位长度扭转角 d????T??dxlGIp
lTTl长l圆轴扭转角 式中:GIp称为圆轴的抗扭刚度 ???d???dx?l0GIGIppIp?A§8-5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件
IpTRT圆截面边缘上最大剪应力为 ?max??抗扭截面系数Wt?IWR ptT则圆轴扭转强度条件 （8-10） ?max?????Wt
扭转许用剪应力[?]??o??s/ns塑性材料（不同于剪切件计算中的剪切许用应力） ??n??b/nb脆性材料 TT180????(rad/m)???????(?/m)（8-11）??maxmax扭转的刚度条件： GIPGIP?
43计算Ip、Wt D??D222?Ip??A?dA??0??2??d??32对实心圆轴dA=2πρdρ ??Ip?D3
?Wt??D16?18 ?2建 筑 力 学 讲 义
对空心圆轴
?D??D4?d4??D4222?Ip???dA??d??2??d???(1??4)A32322????D4?d4??D3Ip??(1??4)??dD?Wt?D2?16D16?
例 如图4-13的传动轴，
n=500r/min,N1=367.5KW,N2=147KW， N3=220.5KW，[η]=70MPa，[θ]=1°/m， G=80GPa。求：确定AB和BC段直径。
N解：1)计算外力偶矩 mA?95501?7024(Nm)n N3N2m?9550?4214.4(Nm)mB?9550?2809.6(Nm)Cn nT1=-7024（N2m） T2=-4214.4（N2m）, 作扭矩T图 2）计算直径d
AB段：由强度条件?max?T16T16T316?70243????? d???80（mm） 136Wt?d1??????70?1032T?180432?7024?180T180?4?????由刚度条件?? d???84.6（mm）1??d14G?2[?]80?109??2?1G32取 d1?84.6mm
BC段：同理，由扭转强度条件得 d2?67mm，由扭转刚度条件得 d2?74.5mm 取d2?74.5mm
第九章 弯曲应力
§9-1平面弯曲的概念及实例
受力特点：作用面平行纵向对称面的一对力偶(或杆件纵向对称面内的横向力)作用。变形形式：杆件轴线由直线变为受力平面内的曲线 (平面弯曲如大梁和火车轮轴) §9-2 梁横截面上的正应力，截面惯性矩，梁的正应力强度条件
1．纯弯曲正应力
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纯弯曲：Q = 0，M = 常数的弯曲 横力弯曲：同时存在剪力和弯矩 图6-1所示梁的CD段为纯弯曲； 其余部分则为横弯曲。 1）变形关系——平面假设
等截面直梁画上横向线和纵向线，加弯矩M弯曲变形： （1）横线仍是直线，只是发生相 对转动，但仍与纵线正交。
（2）纵线弯曲成曲线，且梁的一侧伸长，另一侧缩短。二者交界处存在既不伸长也不缩短的一层，这一层称为中性层。中性层与横截面的交线为截面的中性轴。纵线间距离不变。
平面假设：梁变形后，其横截面仍保持平面，并垂直于变形后梁的轴线，只是绕着中性轴转过一个角度。梁的各纵向层互不挤压，即梁的纵截面上无正应力作用。
根据平面假设找出纵向线应变沿截面高度的变化规律。 取dx微段，弯曲后中性层的曲率半径 ?， 距中性轴为y处的纵向层K1’-K2’的 纵向正应变为 ??(??y)d???d?y? （a）
?d??纵向线应变沿截面高度线性分布。
2）物理关系
根据纵向纤维互不挤压假设，应用单向应力状态胡克定律ζ =Eε E有 ???y正应力沿截面高度线性分布(c) ?3）静力关系：确定中性层的曲率半径ρ及中性轴的位置。由
N?0 N???dA??AE?AydA?EE??ydA?AE?Sz?0 静矩Sz?0中性轴z通过截面形心
My=0 My??E?AyzdA???yzdA?AE?Iyz?0 Iyz?0，yz为惯性主轴（y对称必满足）
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