发布时间 : 星期日 文章青岛理工大学概率论练习册答案更新完毕开始阅读
习题1-2
1. 选择题
(1) 设随机事件A，B满足关系A?B,则下列表述正确的是( ). (A) 若A发生, 则B必发生. (B) A , B同时发生.
(C) 若A发生, 则B必不发生. (D) 若A不发生，则B一定不发生.
解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D).
(2) 设A表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销.
解 设B表示“甲种商品畅销”，C表示“乙种商品滞销”，根据公式BC?BC, 本题应选(D).
2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:
(1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}；
(4) 设在生产第10件正品前共生产了n件不合格品，则样本空间为{10?n|n?0,1,2,}.
3. 设A, B, C是三个随机事件, 试以A, B, C的运算关系来表示下列各事件： (1) 仅有A发生；
(2) A, B, C中至少有一个发生; (3) A, B, C中恰有一个发生; (4) A, B, C中最多有一个发生; (5) A, B, C都不发生;
(6) A不发生, B, C中至少有一个发生. 解 (1) ABC; (2) ABC; (3) ABCABCABC;
(4) ABCABCABCABC; (5) ABC; (6) A(BC).
4. 事件Ai表示某射手第i次(i=1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A1∪A2; (2) A1∪A2∪A3; (3)A3; (4) A2－A3; (5)A2A3； (6)A1A2.
解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标.
习题1-3
1. 选择题 (1) 设A, B为任二事件, 则下列关系正确的是( ).
(A)P(A?B)?P(A)?P(B). (B)P(AB)?P(A)?P(B).
(C)P(AB)?P(A)P(B). (D)P(A)?P(AB)?P(AB).
解 由文氏图易知本题应选(D).
(2) 若两个事件A和B同时出现的概率P(AB)=0, 则下列结论正确的是 ( ).
(A) A和B互不相容. (B) AB是不可能事件. (C) AB未必是不可能事件. (D) P(A)=0或P(B)=0. 解 本题答案应选(C).
2. 设P(AB)=P(AB), 且P(A)＝p，求P(B).
解 因 P(AB)?1?P(AB)?1?P(A)?P(B)?P(AB)?P(AB), 故P(A)?P(B)?1. 于是P(B)?1?p.
3. 已知P(A)?0.4,P(B)?0.3,P(AB)?0.4, 求P(AB).
解 由公式P(AB)?P(A)?P(B)?P(AB)知P(AB)?0.3. 于是
P(AB)?P(A)?P(AB)?0.1.
4. 设A, B为随机事件,P(A)?0.7,P(A?B)?0.3, 求P(AB).
解 由公式P(A?B)?P(A)?P(AB)可知,P(AB)?0.4. 于是P(AB)?0.6. 5. 设A, B是两个事件, 且P(A)?0.6, P(B)?0.7.问: (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值, 最大值是多少？ (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值, 最小值是多少？ 解 P(AB)?P(A)?P(B)?P(A(1) 如果A0.6 .
(2) 如果P(A?B)=1，或者AB)=1.3?P(AB).
B?B, 即当A?B时, P(A?B)?P(B)=0.7, 则P(AB)有最大值是
B?S时, P(AB)有最小值是0.3 . 116. 已知P(A)?P(B)?P(C)?,P(AB)?0, P(AC)?P(BC)?, 求A, B, C全不
412发生的概率.
解 因为ABC?AB,所以0≤P(ABC)≤（=0, 即有P(ABC)=0. PAB）由概率一般加法公式得
P(ABC)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) 由7?.12对立事件的概率性质知A ,B, C全不发生的概率是
P(ABC)?P(A1. 选择题
BC)?1?P(ABC)?512.
习题1-4
在5件产品中, 有3件一等品和2件二等品. 若从中任取2件, 那么以0.7为概率的事件
是( )．
(A) 都不是一等品. (B) 恰有1件一等品. (C) 至少有1件一等品. (D) 至多有1件一等品.
解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含有一件一等品的概率为
C3?C2C5211, 没有一等品的概率为
C3?C2C5202, 将两者加起即为0.7. 答案为（D）.
2. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) 至少有1件次品的概率; (4) 至多有1件次品的概率; (5) 至少有2件次品的概率.
121C5C45C52C45解 (1) 恰有1件次品的概率是;(2) 恰有2件次品的概率是; (3 )至少有33C50C503312C50C45C50C45C5C451件次品的概率是1-; (4) 至多有1件次品的概率是+; (5) 至少有2件333C50C50C50130C52C45C5C45次品的概率是+. 33C50C503. 袋中有9个球, 其中有4个白球和5个黑球. 现从中任取两个球. 求：
(1) 两个球均为白球的概率；
(2) 两个球中一个是白的, 另一个是黑的概率； (3）至少有一个黑球的概率.
2解 从9个球中取出2个球的取法有C9种，两个球都是白球的取法有C4种，一黑一11白的取法有C5C4种，由古典概率的公式知道
2C42(1) 两球都是白球的概率是2;
C911C5C4(2) 两球中一黑一白的概率是; 2C92C4(3) 至少有一个黑球的概率是1?2.
C94. 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 求下列事件的概率:(1) 两数之和小于积小于
6;(2) 两数之511;(3) 以上两个条件同时满足;(4) 两数之差的绝对值小于的概率. 42解 设X, Y为所取的两个数, 则样本空间S = {(X, Y)|0 1441???6255?17?0.68; (1) P{X+Y<}=5125111111dx??ln4?0.6; (2) P{XY<}=?1??1444444x61(3) P{X+Y<, XY<} 540.26860.9321116=?1??1(?x)dx??dx??(?x)dx≈0.593. 0.2684x0.9325555(4) 解 设x, y为所取的两个数, 则样本空间Ω = {(x, y)|0 1}. 参见图1-1. 2 图1-1 第2题样本空间 1111?2???S222?3, 故 P(A)?A?S?14其中 SA, SΩ分别表示A与Ω的面积. 习题1-5 1. 选择题 (1) 设随机事件A, B满足P(A|B)=1, 则下列结论正确的是( ) (A) A是必然事件. (B) B是必然事件. (C) AB?B. (D)P(AB)?P(B). 解 由条件概率定义可知选(D). (2) 设A, B为两个随机事件, 且0?P(A)?1, 则下列命题正确的是( ). (A) 若P(AB)?P(A), 则A, B互斥. (B) 若P(BA)?1, 则P(AB)?0. (C) 若P(AB)?P(AB)?1, 则A, B为对立事件. (D) 若P(B|A)?1, 则B为必然事件. 解 由条件概率的定义知选（B）． 2. 从1,2,3,4中任取一个数, 记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数, 记为Y,求P{Y=2}. 解 解 P{Y=2}=P{X=1}P{Y=2|X=1}+P{X=2}P{Y=2|X=2} +P{X=3}P{Y=2|X=3}+P{X=4}P{Y=2|X=4} = 111113×(0+++)=. 4234483. 口袋中有b个黑球、r个红球, 从中任取一个, 放回后再放入同颜色的球a个. 设Bi={第i次取到黑球}, 求P(B1B2B3B4). 解 用乘法公式得到 P(B1B2B3B4)?P(B1)P(B2|B1)P(B3|B1B2)P(B4|B1B2B3) ?bb?arr?a???. b?rb?r?ab?r?2ab?r?3a注意, a = 1和a = 0分别对应有放回和无放回抽样. 4. 甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2, 被两人击中而被击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率. 解 目标被击落是由于三人射击的结果, 但它显然不能看作三人射击的和事件. 因此这属于全概率类型. 设A表示“飞机在一次三人射击中被击落”, 则Bi(i?0,1,2,3)表示“恰有i发击中目标”. Bi为互斥的完备事件组. 于是 没有击中目标概率为P(B0)?0.6?0.5?0.3?0.09, 恰有一发击中目标概率为 P(B1)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36, 恰有两发击中目标概率为 P(B2)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.4?0.5?0.7?0.41, 恰有三发击中目标概率为 P(B3)?0.4?0.5?0.7?0.14. 又已知 P(A|B)?0,P(A1|B?)0所以由全概率公式得到 P(A)??P(Bi)P(A|Bi)?0.36?0.2?0.41?0.6?0.14?1?0.458. i?030.P2,A2(B?|), 0.P6A,?B(3|)15. 在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑球, 3个白球; 第三箱装有3个黑球, 5个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取一球. (1) 求取出的球是白球的概率；(2) 若取出的为白球, 求该球属于第二箱的概率. 解 (1)以A表示“取得球是白球”，Hi表示“取得球来至第i个箱子”,i=1,2,3. 则P(Hi)= 1115, i=1,2,3, P(A|H1)?,P(A|H2)?,P(A|H3)?. 3528P(A)=P(H1)P(A|H1)?P(H2)P(A|H2)?P(H3)P(A|H3)?由全概率公式知 53. 120