发布时间 : 星期一 文章新步步高北师大数学文大一轮复习文档：第八章 立体几何 83更新完毕开始阅读
所以GK是梯形GEFH的高．
由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4， 11
从而KB＝DB＝OB，即K为OB的中点．
421
再由PO∥GK得GK＝PO，
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即G是PB的中点，且GH＝BC＝4.
2由已知可得OB＝42， PO＝
PB2－OB2＝
68－32＝6，
所以GK＝3.
GH＋EF
故四边形GEFH的面积S＝·GK
24＋8＝×3＝18.
2
思维升华 判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a?α，bα，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a(4)利用面面平行的性质(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．
(1)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，
∠BAC＝∠CAD＝60°，E为PD的中点，AB＝1， 求证：CE∥平面PAB；
(2)如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求证：四边形EFGH是矩形． 证明 (1)由已知条件有AC＝2AB＝2，AD＝2AC＝4，CD＝23.
如图所示，延长DC，AB，设其交于点N，连接PN， 因为∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD， 所以C为ND的中点，
又因为E为PD的中点，所以EC∥PN， 因为EC?平面PAB，PN平面PAB，
α?a∥β)；
所以CE∥平面PAB.
(2)∵CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD＝EF， ∴CD∥EF.
同理HG∥CD，且HE∥AB，∴EF∥HG. 同理HE∥GF，
∴四边形EFGH为平行四边形． ∴CD∥EF，HE∥AB，
∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角． 又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF. ∴平行四边形EFGH为矩形． 题型二 平面与平面平行的判定与性质
例3如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明 (1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点， ∴GH是△A1B1C1的中位线， ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC， ∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面． (2)∵E，F分别是AB，AC的中点， ∴EF∥BC.
∵EF?平面BCHG，BC平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G綊EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形， ∴A1E∥GB.
∵A1E?平面BCHG，GB平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，
∴平面EFA1∥平面BCHG. 引申探究
1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA. 证明 如图所示，连接HD，A1B， ∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点， ∴HD∥A1B， 又HD?平面A1B1BA， A1B平面A1B1BA， ∴HD∥平面A1B1BA.
2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 证明 如图所示，连接A1C交AC1于点M， ∵四边形A1ACC1是平行四边形， ∴M是A1C的中点，连接MD， ∵D为BC的中点， ∴A1B∥DM.
∵A1B平面A1BD1， DM?平面A1BD1， ∴DM∥平面A1BD1.
又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD， ∴四边形BDC1D1为平行四边形， ∴DC1∥BD1.
又DC1?平面A1BD1，BD1平面A1BD1， ∴DC1∥平面A1BD1，
又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM平面AC1D， ∴平面A1BD1∥平面AC1D. 思维升华 证明面面平行的方法： (1)面面平行的定义；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
如图，在三棱锥S—ABC中，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足
为F.点E，G分别是棱SA、SC的中点．求证：平面EFG∥平面ABC. 证明 因为AS＝AB，AF⊥SB， 所以F是SB的中点．
又因为E是SA的中点，所以EF∥AB， 又EF?平面ABC，AB平面ABC， 所以EF∥平面ABC，同理EG∥平面ABC， 又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC. 题型三 平行关系的综合应用
例4 如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？ 解 ∵AB∥平面EFGH，
平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH. ∴AB∥FG，AB∥EH，
∴FG∥EH，同理可证EF∥GH， ∴截面EFGH是平行四边形．
设AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α (α即为异面直线AB和CD所成的角或其补角)．
xCGyBGxyb
又设FG＝x，GH＝y，则由平面几何知识可得＝，＝，两式相加得＋＝1，即y＝
aBCbBCaba