发布时间 : 星期一 文章高三数学二轮复习 专题一 第1讲 集合、常用逻辑用语教案更新完毕开始阅读
自主学习导引
真题感悟
2
1．(2012·浙江)设集合A＝{x| 1＜x＜4}，集合B＝{x| x－2x－3≤0}，则A∩(?RB)＝
A．(1,4) B．(3,4) C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)
解析 首先用区间表示出集合B，再用数轴求A∩(?RB)．解x2－2x－3≤0得－1≤x≤3，∴B＝[－1,3]，则?RB＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，∴A∩(?RB)＝(3,4)． 答案 B
2．(2012·福建)下列命题中，真命题是
A．?x0∈R，e0≤0 B．?x∈R,2＞x
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件 解析 应用量词和充要条件知识解决．
对于?x∈R，都有e＞0，故选项A是假命题；当x＝2时，2＝x，故选项B是假命题；当＝－1时，有a＋b＝0，但当a＋b＝0时，如a＝0，b＝0时，无意义，故选项C是假命题；当a＞1，b＞1时，必有ab＞1，但当ab＞1时，未必有a＞1，b＞1，如当a＝－1，b＝－2时，ab＞1，但a不大于1，b不大于1，故a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，选项D是真命题． 答案 D
考题分析
高考对集合的考查主要集中在集合的运算与集合间关系的判定与应用，常用逻辑用语考查知识面十分广泛，可以涵盖函数、立体几何、不等式、向量、三角函数等内容．考查的形式多为选择题，难度不大，但需掌握基本知识与方法．
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xx2
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ababab
高频考点突破
考点一：集合的概念与运算
【例1】(1)(2012·朝阳二模)已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A?B，则a等于 A．1B．0C．－2D．－3
(2)(2012·西城二模)已知集合A＝{x| log2x＜1}，B＝{x| 0＜x＜c，其中c＞0}．若A∪B＝B，则c的取值范围是
A．(0,1] B．[1，＋∞) C．(0,2] D．[2，＋∞) (3)(2012·宜春模拟)设全集U＝R，A＝{x| 2阴影部分表示的集合为
x(x－2)
＜1}，B＝{x| y＝ln(1－x)}，则图中
A．{x| x≥1} B．{x| 1≤x＜2} C．{x| 0＜x≤1} D．{x| x≤1}
[审题导引](1)利用子集的定义求解； (2)解出A，然后借助于数轴解决；
(3)观察图形，求得阴影部分表示的集合，解出A，B并求解． [规范解答] (1)∵A?B，∴a＋3＝1，∴a＝－2.
(2)解不等式log2x＜1，得0＜x＜2， ∴A＝{x| 0＜x＜2}． ∵A∪B＝B，∴A?B，∴c≥2. (3)解不等式2
x(x－2)
＜1＝2得0＜x＜2，
0
∴A＝{x| 0＜x＜2}．
又易知B＝{x| x＜1}，图中阴影部分表示的集合为A∩(?UB)＝{x| 0＜x＜2}∩{x| x≥1}＝{x| 1≤x＜2}．
[答案](1)C(2)D(3)B 【规律总结】
解答集合间的关系判定与运算问题的一般思路
(1)正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义． (2)根据集合中元素的性质化简集合．
(3)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化． 一般规律为：
①若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解； ②若给定的集合是点集，用数形结合法求解； ③若给定的集合是抽象集合，用Venn图求解．
[易错提示](1)准确理解集合中代表元素的属性，以求解有关不等式(如例1中的第(3)题，集合B表示函数y＝ln(1－x)的定义域)．
(2)在借助于数轴进行集合的运算时，要标清实点还是虚点，避免漏解或增解(如例1中的第(2)题)．
【变式训练】
1．(2012·三明模拟)已知集合M＝{m，－3}，N＝{x| 2x2＋7x＋3＜0，x∈Z}，如果M∩N≠?，则m等于
3A．－1 B．－2 C．－2或－1 D．－ 212
解析 由2x＋7x＋3＜0，得－3＜x＜－，
2又x∈Z，∴N＝{－2，－1}， 又M∩N≠?，∴m＝－2或－1. 答案 C
2
???x2
2．(2012·海淀二模)设全集为R，集合M＝?x?＋y＝1
???4
?????x－3
?，N＝?x?≤0
x＋1?????
??
?，则集??
???3?221
合?x??x＋?＋y＝
4???2?
?
?可表示为 ?
A．M∪NB．M∩N C．(?RM)∩ND．M∩(?RN)
解析 根据椭圆的有界性知M＝{x| －2≤x≤2}，解不等式
x－3
≤0，得N＝{x| －1＜x＋1
x≤3}．
???3?221
由圆的定义可得?x??x＋?＋y＝
4???2?
＝{x| －2≤x≤－1}，
?
? ?
???3?221即?x??x＋?＋y＝
4???2?
?
?＝M∩(?RN)． ?
答案 D
考点二：命题与逻辑联结词
【例2】(1)(2012·潍坊模拟)命题：“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是 A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1 B．若－1＜x＜1，则x2＜1 C．若x＞1，或x＜－1，则x2＞1 D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1 (2)若p是真命题，q是假命题，则 A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题 C．?p是真命题 D．?q是真命题
[审题导引](1)按照四种命题的定义即可解决；(2)由复合命题的真值表判定． [规范解答](1)∵“－1＜x＜1”的否定是x≥1， 或x≤－1.
又由逆否命题的定义，
∴原命题的逆否命题为：若x≥1，或x≤－1，则x2≥1.
(2)由条件知，?p是假命题，?q是真命题，故选D. [答案](1)D(2)D 【规律总结】
命题真假的判定方法
(1)一般命题p的真假由涉及到的相关交汇知识辨别．
(2)四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无必然联系．
(3)形如p或q、p且q、?p命题的真假根据真值表判定． 【变式训练】
3．(2012·衡水模拟)命题A：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不经过第四象限．那么命题A的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中假命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3
解析 易知命题A是真命题，其逆否命题也是真命题，A的逆命题与否命题都是假命题． 答案 C
4．(2012·石家庄模拟)有下列命题：
p：函数f(x)＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；
q：已知向量a＝(λ，1)，b＝(－1，λ2)，c＝(－1,1)，则(a＋b)∥c的充要条件是λ＝－1；
r：若
?a11dx?1(a＞1)，则a＝e. x其中所有的真命题是
A．r B．p，q C．q，r D．p，r 解析 ∵f(x)＝sinx－cosx
＝(sinx＋cosx)(sinx－cosx)＝－cos 2x， ∴T＝π，故p是真命题；
∵a＋b＝(λ－1，λ＋1)，(a＋b)∥c， 则λ＋λ＝0，即λ＝－1或λ＝0， 故q是假命题；
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?xdx＝ln x|1＝ln a＝1，
a1
a?1
∴a＝e，故r是真命题． 答案 D
考点三：量词、含有量词的命题的否定