发布时间 : 星期六 文章高职高专高等数学教案更新完毕开始阅读
（2）再积分，即?f[?(t)]??(t)dt 积分 F(t)?C； （3）最后回代，t???1(x)，即 F(t)?C t???1(x) 回代 F[??1(x)]?C。 强调：运用第二换元积分法的关键是选择合适的变换函数x??(t)。对于x??(t)，要求单调可微，且??(t)?0，其中t???1(x)是x??(t)的反函数。 说明：（1）第一换元法先凑微分再换元；第二换元法是先换元再积分。 （2）第二换元法常用的代换有幂代换和三角代换，当被积函数含有nax?b时，可作幂代换令t?nax?b；当被积函数含有a2?x2，a2?x2，三角代换，分别令x?asint，x?atant，x?asect。 三、典型例题 例1 求下列函数的不定积分。 1x?1（1）?（2）?（3）?a2?x2dx(a?0)。 dx；dx；xx?2x?3x讲解：略 点评：上述类型的习题，由于第一换元积分等方法不易求解，可根据第二积分换元法的解题步骤，逐次解答。 四、课堂小结 本次课程的内容有：第二换元积分法的概念；第二换元积分法求不定积分。 x2?a2等表达式时，可作 5分钟学生消化以上所讲的知识。 （20分钟） （10分钟） 思考题、作业题、讨论题： 作业题： P78:5.2 1.2..3.4 课后总结分析：
第 5 次课 学时 2 授课题目（章，节） 授课类型（请打√） 第五章 不定积分 §5分部积分法 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、熟练掌握分部积分法； 2、会利用分部积分法求函数的不定积分。 教学方法、手段： 讲授法，板书。 教学重点、难点： 重点：分部积分法； 难点：会用分部积分法求函数的不定积分。 教学内容及过程设计 一、课前复习 补充内容和时间分配 （15分钟） 学生阅读教材内容，复习第二换元积分法； 巩固学生们对上节课所学知识的理解，并复习上节课所学的知识点。 二、讲授新课 通过对第一换元积分法和第二换元积分法的理解，这节课学习一种新的积分方法。 （25分钟） 1、分部积分法 设函数u?u(x)，v?v(x)都是连续可微函数，根据乘积微分公式，得d(uv)?udv?vdu， 移项得udv?d(uv)?vdu，两边积分得 ?udv?uv??vdu 上式，称为分部积分公式。 说明：（1）分部积分法是与乘积微分法则相对应的，也是一种基本积分法； （2）如果计算?udv比较困难，而?vdu容易计算时，可利用分部积分公式，把求?udv 的问题转化为求?vdu。 （3）利用分部积分法求不定积分，有时需要多次使用分部积分公式才能得出结果。 典型例题： 求?x2exdx，?exsinxdx？ 讲解：略 说明：分部积分的方法是不定积分常用的方法，通过例题讲解加深学生对于分部积分 方法的理解，要求学生熟练运用分部积分方法。 2、利用分部积分公式，u和dv选取的规律 （25分钟） 强调：利用分部积分法求不定积分时，有时多次使用分部积分公式，所求积分再次 出现，于是得到一个关于所求不定积分的方程，解此方程便可得所求不定积分。 现归纳如下： nnxnn（1）?xedx，?xsin?xdx，?xcos?xdx，可设u?x； nnn（2）?xarcsinxdx，?xarctanxdx，?xlnxdx，可设u?arcsinx，arctanx，lnx； ?x?x（3）?esin?xdx，?ecos?xdx，设哪个函数为u都可以。 注意：此积分方法需要学生人熟练掌握，这是求不定积分的一种重要的方法。 三、典型例题 例1 求下列函数的不定积分。 （20分钟） （1）?xcosxdx；（2）?x2exdx；（3）x3lnxdx； （4）?exsinxdx；（5）?lnxdx。 讲解：略 说明：分部积分法是求不定积分常用的方法，同学们在课后需加强练习。 四、课堂小结 （10分钟） 分部积分法是求不定积分的一种比较重要的方法，希望学生课后多加练习课后习题。 在使用分部积分公式时，u和dv的选取具有一定的规律性。 ?思考题、作业题、讨论题： 作业题： P82 5.3 1. （1） （2） （3） 课后总结分析：
第 6 次课 学时 2 授课题目（章，节） 授课类型（请打√） 第五章 不定积分 §6本章小结 理论课□ 研讨课□ 习题课□ 复习课√□ 其他□ 教学目的： 1、巩固复习本章的知识点，加强学生对本章内容的理解和运用； 教学方法、手段： 讲授法，板书，课件展示。 教学重点、难点： 重点：正确理解本章的知识点； 难点：会运用本章的知识点求解函数的不定积分。 教学内容及过程设计 一、知识点复习 补充内容和时间分配 1、原函数的概念。（课件展示） （10分钟） 注意：原函数不是唯一的； 2、不定积分的概念。（课件展示） （5分钟） 说明：求不定积分的问题就是求导数的反问题。 提问：求一个函数的不定积分，有哪几种方法？ 3、第一换元积分法（课件展示） （10分钟） 说明：第一换元积分法又称凑微分法。 求一个函数的不定积分，一般的步骤如下： （1）使用凑微分法，利用微分形式不变性，“凑”成一个在基本积分公式中的函数求 出不定积分。如果不能使用凑微分法，再考虑下一步； （2）如果遇到二次根式或有理函数，那么就用第二换元积分法或有理函数的积分法。 如果前面两个方法都不能用，再考虑下一步； （3）如果没有二次根式，遇到两个不同类型的函数乘积，那么就用分部积分法。 简单的说，求函数不定积分的基本原则是，被积函数有根号时用第二换元积分法消去 根号，被积函数无根号，遇到两个不同类型的函数乘积用分部积分法。 4、第二换元积分法（课件展示） 小结：用第二换元积分法计算不定积分?f(x)dx，关键是要选择合适的变换x??(t)， （10分钟） 使得新的被积函数f(?(t))??(t)具有原函数G(t)，再从x??(t)中得出反函数t???1(x)，代 入G(t)，即得f(x)的原函数。如果被积函数中含有被开方因式为一次式的根式max?b时， 令max?b?t，可以消去根号，从而求得积分。如果被积函数中含有被开方因式为二次式 的根式的情况，一般地说，可进行三角代换，当被积函数含有a2?x2，可进行代换