发布时间 : 星期一 文章1第一章 随机事件与概率更新完毕开始阅读
有一天出废品”，D?“最多有三天出废品”， 由贝努里概型公式，有
1P(B)?P4(1)?C4(0.2)1(0.8)3?0.4096.
因为
0P(C)?P4(0)?C4(0.2)0(0.8)4?0.4096,
所以 P(C)?0.5904.
P(D)?P4(0)?P4(1)?P4(2)?P4(3)?1?P4(4)
4?1?C4(0.2)4(0.8)0?0.9984.
例1.5.10 一位医生知道某种疾病的自然痊愈率为0.25，为了试验一种新药是否有效，选取有这种疾病的10个病人服用这种新药，他事先规定一个决策规则：若在这10个病人中至少有4个人治好了，则认为这种新药有效；反之，则认为新药无效.:求：
(1) 虽然新药有效，并把痊愈率提高到了0.35 ，但试验后却被否定的概率； (2) 新药完全无效，但试验后却被判为有效的概率.
解 （1）问题是说实际上新药是有效的，并把痊愈率提高到了0.35 ，但经 10个病人服用后，痊愈的人少于 4人，依此只好认为该药无效.一个人服用此药相当于做了一次贝努里试验，在每一次试验中，病人痊愈（记为A）的概率为0.35，不痊愈（记为A）的概率为0.65，于是问题即为求：10重贝努里试验中，事件A最多出现3次的概率.
所以，P1??Ck?03k10?0.35k?0.6510?k?0.5136.
(2) 由题意，新药无效，即痊愈率为0.25，经10人服用后，痊愈的病人至少4人，因此作出了判断新药有效的错误决策.此时，病人痊愈（记B）的概率为0.25，不痊愈(记B)的概率为0.75.
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所以所求概率为 P2??Ck?4310k10?0.25k?0.7510?k
?1??C?0.25k?0.7510?k
k?0?0.224.
§1.6 全概率公式与贝叶斯公式
概率论的重要研究课题之一就是希望从已知的简单事件的概率计算出未知的复杂事件的概率.为此，经常把一个复杂事件分解为若干个不相容的简单事件之和，再利用简单事件的概率计算出复杂事件的概率.
例1.6.1 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：
元件制造厂 1 2 3 次品率 提供元件的份额 0.02 0.01 0.03 0.15 0.80 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.现在仓库中随机地取一只，求它是次品的概率.
解 设事件A?“在仓库中随机地取一只，它是次品”.
显然，直接计算P(A)很难，由题意，考虑与事件A有关的事件.由于三家工厂的产品在仓库中是均匀混合，故我们并不知道这件产品是哪家工厂生产的，它可能是1厂，也可能是2厂或3厂生产的.若设Bi?“产品是i厂生产的” (i?1,2,3)，则事件A包含有三种可能：AB1,AB2,AB3，即A?AB1?AB2?AB3，而
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AB1,AB2,AB3两两互不相容，所以，由概率的有限可加性
P(A)?P(AB1?AB2?AB3)?P(AB1)?P(AB2)?P(AB3)
?P(B1)P(AB1)?P(B2)P(AB2)?P(B3)P(AB3)
?0.15?0.02?0.80?0.01?0.05?0.03?0.0125.
这里，我们将复杂事件A分解成简单（其概率易求之事件）之事件的和，再结合概率计算的有限可加性及乘法定理，即得所求概率.这就是全概率公式的一个应用，为了导出一般公式，首先引入样本空间的划分的概念.
定义1.6.1 如果n个事件B1,?,Bn满足下列两个条件： (1) B1,?,Bn是两两互不相容； (2) B1???Bn??，
那么，我们称这n个事件B1,?,Bn构成样本空间?的一个划分(或构成一个完备事件组).
若B1,?,Bn是样本空间的一个划分，那么，对每次试验，事件B1,?,Bn中必有一个且仅有一个发生.
在上例中，因为任取的一件产品只能是三家工厂中的一家生产，所以B1,B2,B3构成了这个问题的一个完备事件组，即
BiBj??(i?j)，且B1?B2?B3??
定理1.6.1 设n个事件B1,?,Bn为样本空间?的一个划分，且
P(Bi)?0(i?1,2,?n)，则对任一个事件A，
P(A)?P(AB1)P(B1)?P(AB2)P(B2)???P(ABn)P(Bn)，
称这一公式为全概率公式.
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证明 如图所示
因为A?A??A(B1?B2???Bn)?AB1?AB2???ABn，由假设
(ABi)(ABj)??(i?j)，且P(Bi)?0(i?1,2,?n)，所以
P(A)?P(AB1)?P(AB2)???P(ABn)
?P(AB1)PB(1?)PA(B2P)B(2??)?PAB(nPB)n ()利用此公式计算的关键是首先找出样本空间的一个划分，这要视具体情况分析.通常我们将B1,?,Bn看作是事件A发生的原因，并且公式中的一些事件的概率和条件概率能从题设中找到或求出.
例1.6.2 甲文具盒内有2支兰色笔和3支黑色笔，乙文具盒内也有2支兰色笔和3支黑色笔，现从甲文具盒中任取2支笔放入乙文具盒，然后再从乙文具盒中任取2支笔，求最后取出的2支笔都是黑色笔的概率.
解 设Bi?“从甲文具盒中取出i支黑色笔放入乙文具盒”，i?0,1,2，
A?“最后取出的2支笔都是黑色笔”. 则
201102C2C3C2C3C2C3163 ， P(B0)??,P(B)??,P(B)??12222101010C5C5C5020202C4C3C3C4C2C51036 ， P(AB0)?,P(AB)??,P(AB)??13222212121C7C7C7所以
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