发布时间 : 星期一 文章1第一章 随机事件与概率更新完毕开始阅读
只球.设事件A,B,C分别表示“摸到的球涂有红色”，“摸到的球涂有白色”，“摸到的球涂有黑色”，则
1， 21P(AB)?P(BC)?P(AC)?，
41P(ABC)?.
4P(A)?P(B)?P(C)?所以A,B,C两两独立， 但是，A,B,C不相互独立. 一般地，可定义n个事件的独立性.
定义1.5.2 对于n个事件A1,A2?,An，若对所有可能的
1?i?j?k??n，均有
P(AiAj)?P(Ai)P(Aj)， P(AiAjAk)?P(Ai)P(Aj)P(Ak)，
?
P(A1A2?An)?P(A1)P(A2)?P(An)，
那么称A1,A2?,An相互独立.
结论 (1) 若n个事件相互独立，则它们中的任意m(2?m?n)个事件也相互独立；
(2) 对于多个事件的相互独立性，也有类似定理1.5.2的结论.
例1.5.6 甲、乙、丙、丁四人猜出某灯谜的概率分别为0.4，0.3，0.2，0.1，让他们独立猜该灯谜，求灯谜被猜中的概率.
解 以事件A1,A2,A3,A4分别表示甲、乙、丙、丁猜出该灯谜，B表示“灯谜被猜中”，由条件，
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P(A1)?0.4,P(A2)?0.3,P(A3)?0.2,P(A4)?0.1，
且A1,A2,A3,A4相互独立，B?A1?A2?A3?A4，因而
P(B)?P(A1?A2?A3?A4)?1?P(A1?A2?A3?A4)
?1?P(A1A2A3A4)?1?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)
?1?(1?0.4)(1?0.3)(1?0.2)(1?0.1)?0.6976.
例1.5.7 一个元件或系统正常工作的概率称为元件或系统的可靠度.如图所示的电路，假设每个元件的可靠度为p，求该系统的可靠度.
图1.5.1
解法1 设A表示“系统正常工作”，Ai表示“第i个元件正常工作”，则
P(Ai)?p,i?1,2,3,4 且A?(A1A2)?A5?(A3A4)，
所以
P(A)?P(A1A2)?P(A5)?P(A3A4)?P(A1A2A5)?P(A3A4A5) ? P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4A5) ?p?2p2?2p3?p4?p5解法2 P(A)?1?P[(A1A2)?A5?(A3A4)]
?1?[1?P(A?PA1A2)][15( )?][1P3A4(A
)]?1?(1?p2)(1?p)(1?p2)
?p?2p?2p?p?p.
例1.5.8 设甲、乙两人的射击水平相当，于是约定比赛规则：双方对同一目
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标轮流射击，直到有人命中目标为止.命中一方为该轮比赛的获胜者.试问甲、乙谁先射击获胜的概率大？
解 设 甲、乙两人每次命中的概率为p，失利的概率为p，令 （i?1,2,?），假设甲先发第一枪 ，则 Ai?“第i次射击命中目标”
P(甲胜)?P(A1?A1A2A3?A1A2A3A4A5??)
=P(A1)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3A4A5)?? =p?(1?p)2p?(1?p)4p?? =p?11. ?22?p1?(1?p)11?p?. 2?p2?p所以 P(乙胜)=1?P(甲胜)=1? 显然，P(甲胜)?P(乙胜）.这说明打第一枪的甲获胜的可能性比乙大，这就是为什么在某些运动如乒乓球，棋类等对抗赛中，需通过抽签或公平分配发球次序来解决问题的道理所在.
三、贝努里概型与二项概型
有了事件的独立性概念，我们就可以定义试验的独立性.简单地说，如果两次试验的结果是相互独立的，则称这两次试验是独立的.若n次试验的结果是独立的，那么称这n个试验相互独立.一般地，只有两个可能结果的试验称为贝努里试验.
有时在一个试验中，我们关心的可能是某个事件A是否发生，且事件A发生的概率P(A)确定，P(A)?1?p也确定.如果将贝努里试验重复地做n次，则称这样的试验为n重贝努里试验.
在客观实际中存在大量可以用nn重贝努里试验是一种非常重要的概率模型，
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重贝努里试验来解决的概率问题.下面我们来计算在n重贝努里试验中，事件A恰好发生了k(k?0,1,2,?,n)次的概率.这个概率通常记为Pn(k),k?0,1,2,?,n.
定理1.5.3 在n重贝努里试验，事件A恰好发生了k次的概率，若
P(A)?p，则
kkPn(k)?Cnp(1?p)n?k
k?0,1,2,?,n
证明 由贝努里概型知，在指定的k次试验中出现A，其余n?k次试验中出现A的概率为pk(1?p)n?k.
例如，在前面n次试验中出现A，而后面n?k次试验中出现A的概率为
p?p?p(1?p)(1?p)?(1?p)?pk(1?p)n?k.
kk由于事件A在n次试验中出现k次的方式有Cn种，而这Cn种情况所对应的
事件是两两互不相容的，故由概率的有限可加性，有
kkPn(k)?Cnp(1?p)n?kk?0,1,2,?,n
kk由于 Pn(k)?Cnp(1?p)n?k 是二项展开式的每一项，所以n重贝努里概型
也称为二项概型.
例1.5.9 某工厂一天出废品的概率为0.2，问： (1) 4天中仅有一天出废品的概率是多少? (2) 至少有一天出废品的概率是多少? (3) 最多有三天出废品的概率是多少?
解 由于一天生产只可能有两种结果：A?“出废品”，A?“不出废品”，且
P(A)?0.2,P(A)?0.8，
故四天生产可视为四重贝努里试验.记B?“4天中仅有一天出废品”，C?“至少
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