发布时间 : 星期二 文章高考必胜高考数学必胜秘诀在哪――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结更新完毕开始阅读
且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究an?bm.
4.等比数列的有关概念：
（1）等比数列的判断方法：定义法
an?1aa，其中q?0,an?0或n?1?n ?q(q为常数）ananan?1(n?2)。如（1）一个等比数列{an}共有2n?1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an?1为____（答：）；（2）数列{an}中，Sn=4an?1+1 (n?2)且a1=1，若bn?an?1?2an ，求证：数列｛bn｝是等比数列。
（2）等比数列的通项：an?a1qn?1或an?amqn?m。如设等比数列{an}中，a1?an?66，
56a2an?1?128，前n项和Sn＝126，求n和公比q. （答：n?6，q?1或2） 2a1(1?qn)（3）等比数列的前n和：当q?1时，Sn?na1；当q?1时，Sn?
1?q10na1?anqkq＝2，?。如（1）等比数列中，S99=77，求a3?a6???a99（答：44）（2）；(?Cn)?1?qn?1k?0的值为__________（答：2046）；
特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q?1和q?1两种情形讨论求解。
（4）等比中项：若a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个?ab。如已知两个正数a,b(a?b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）
提醒：（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及
Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，
即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为?，
aaaa2q,,a,aq,aq?（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为?,,aq,aq3，?，23qqqq当前第 17 页共76页
因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为q2。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
5.等比数列的性质：
（1）当m?n?p?q时，则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有
am?an?ap2.如（1）在等比数列{an}中，a3?a8?124,a4a7??512，公比q是整数，则
；（2）各项均为正数的等比数列{an}中，若a5?a6?9，则a10=___（答：512）
（答：10）。 logga2???lo3ag10?3a1?lo3(2) 若{an}是等比数列，则{|an|}、{ap?nq}(p,q?N)、{kan}成等比数列；若
*a{n}成等比数列；则{anbn}、 若{an}是等比数列，且公比q??1，{an}、{bn}成等比数列，
bn则数列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?也是等比数列。当q??1，且n为偶数时，数列
Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?是常数数列0，它不是等比数列. 如（1）已知a?0且a?1，
设数列{xn}满足loagx?n1??1(，且x1?x2???xlxogann?N*)100100?100，则
x10?1x102???x ?2 . （答：100a）；（2）在等比数列{an}中，Sn为其前
n项和，若S30?13S10,S10?S30?140，则S20的值为______（答：40）
(3)若a1?0,q?1，则{an}为递增数列；若a1?0,q?1, 则{an}为递减数列；若则{an}为递减数列；若a1?0,0?q?1, 则{an}为递增数列；若q?0，a1?0,0?q?1 ，
则{an}为摆动数列；若q?1，则{an}为常数列.
(4) 当q?1时，Sn??a1naq?1?aqn?b，这里a?b?0，但a?0,b?0，1?q1?q这是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据Sn，判断数列{an}是否为等比数列。如若{an}是等比数列，且Sn?3n?r，则r＝ （答：－1）
(5) Sm?n?Sm?qmSn?Sn?qnSm.如设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn?1,Sn,Sn?2成等差数列，则q的值为_____（答：－2）
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(6) 在等比数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶?qS奇；项数为奇数2n?1时，
S奇?a1?qS偶.
(7)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列，故常数数列{an}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列?an?的前n项和为Sn（n?N）， 关于数列?an?有下列三个命题：①若an?an?1(n?N)，则?an?既是
等差数列又是等比数列；②若Sn?an2?bn?a、b?R?，则?an?是等差数列；③若
n Sn?1???1?，则?an?是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 （答：②③）6.数列的通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。如已知数列
111113,5,7,9,?试写出其一个通项公式：__________（答：an?2n?1?n?1）
2481632⑵已知Sn（即a1?a2???an?f(n)）求an，用作差法：an??S1,(n?1)Sn?Sn?1,(n?2)。
an?如①已知{an}的前n项和满足log2(Sn?1)?n?1，求an（答：
?3,n?1）；②数列{an}2n,n?2满足
11114,n?1a1?2a2???nan?2n?5，求an（答：an?n?1）
2,n?2222?f(1),(n?1)??f(n)⑶已知a1?用作商法：an??。如数列{an}中，a2???an?f(n)求an，
,(n?2)??f(n?1)a1?1,对所有的n?2都有a1a2a3?an?n2，则a3?a5?______（答：
61） 16⑷若an?1?an?f(n)求an用累加法：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)
?a1(n?2)。如已知数列{an}满足a1?1，an?an?1?1n?1?n(n?2)，则
an=________（答：an?n?1?2?1）
⑸已知
an?1aaa?f(n)求an，用累乘法：an?n?n?1???2?a1(n?2)。如已知数anan?1an?2a1当前第 19 页共76页
列{an}中，a1?2，前n项和Sn，若Sn?n2an，求an（答：an?4）
n(n?1)⑹已知递推关系求an，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如an?kan?1?b、
an?kan?1?bn（k,b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列
后，再求an。如①已知a1?1,an?3an?1?2，求an（答：an?2?3n?1?1）；②已知；（2）形如an?a1?1,an?3an?1?2n，求an（答：an?5?3n?1?2n?1）
an?1的递推数
kan?1b?列都可以用倒数法求通项。如①已知a1?1,an?1an?1，求an（答：an?）；②
3n?23an?1?11） 2n已知数列满足a1=1，an?1?an?anan?1，求an（答：an?注意：（1）用an?Sn?Sn?1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n?2，当n?1时，a1?S1）；（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an?Sn?Sn?1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解。如数列{an}满足a1?4,Sn?Sn?1?54,n?1an?1，求an（答：an?）
3?4n?1,n?23?7.数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：
1?2?3???n?1n(n?1)12?22???n2?1n(n?1)(2n?1)，，
26n(n?1)213?23?33???n3?[].如（1）等比数列{an}的前n项和Sｎ＝2ｎ－１，则
2a?a?a???a2122232n＝_____（答：
4n?1）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行3处理的。二进制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是
1?23?1?22?0?21?1?20?13，那么将二进制(111?11)2转换成十进制数是_______（答：
?????2005个122005?1）
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