发布时间 : 星期六 文章高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》知识点归纳及单元测试更新完毕开始阅读
一、 选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确）
21．函数f(x)??2?x?的导数是（ ）
(A) f?(x)?4?x (B) f?(x)?4?x (C) f?(x)?8?x (D) f?(x)?16?x 2．函数f(x)?x?e?x22的一个单调递增区间是（ ） (A)??1,0? (B) ?2,8? (C) ?1,2? (D) ?0,2?
3．已知对任意实数x，有f(?x)??f(x)，g(?x)?g(x)，且x?0时，f?(x)?0，g?(x)?0，则
x?0时（ ）A．f?(x)?0，g?(x)?0 B．f?(x)?0，g?(x)?0 C．f?(x)?0，g?(x)?0 D．f?(x)?0，g?(x)?0 34．若函数f(x)?x?3bx?3b在?0,1?内有极小值，则（ ）
1（A） 0?b?1 （B） b?1 （C） b?0 （D） b?
245．若曲线y?x的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为（ ）
A．4x?y?3?0 B．x?4y?5?0 C．4x?y?3?0 D．x?4y?3?0
x26．曲线y?e在点(2，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
e29222Ａ．e Ｂ．2e Ｃ．e Ｄ．
247．设f?(x)是函数f(x)的导函数，将y?f(x)和y?f?(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可
能正确的是（ ）
28．已知二次函数f(x)?ax?bx?c的导数为f'(x)，f'(0)?0，对于任意实数x都有f(x)?0，
f(1)53的最小值为（ ）A．3 B． C．2 D． f'(0)22x29．设p:f(x)?e?lnx?2x?mx?1在(0，??)内单调递增，q:m≥?5，则p是q的（ ）
则
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 10． 函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） （A）0?f(2)?f(3)?f(3)?f(2) y （B） 0?f(3)?f(3)?f(2)?f(2) （C）0?f(3)?f(2)?f(3)?f(2) （D）0?f(3)?f(2)?f(2)?f(3) O 1 2 3 4 x 二．填空题（本大题共4小题，共20分）
11．函数f(x)?xlnx(x?0)的单调递增区间是＿＿＿＿． 12．已知函数f(x)?x?12x?8在区间[?3,3]上的最大值与最小值分别为M,m，则M?m?＿＿． 13．点P在曲线y?x?x?14．已知函数y?33////////2上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为?，则?的取值范围是 313x?x2?ax?5(1)若函数在???,???总是单调函数，则a的取值范围3是 . (2)若函数在[1,??)上总是单调函数，则a的取值范围 . （3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a的取值范围是 .
三．解答题（本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分）
15．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大最大体积是多少
3216．设函数f(x)?2x?3ax?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值．
（1）求a、b的值；（2）若对于任意的x?[0，3]，都有f(x)?c成立，求c的取值范围．
17．设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点，.求(Ⅰ)求点的坐标； (Ⅱ)求动点的轨迹方程.
3218. 已知函数f(x)?2x?3x?3.
（1）求曲线y?f(x)在点x?2处的切线方程；
（2）若关于x的方程f?x??m?0有三个不同的实根，求实数m的取值范围.
2ax3?(a?1)x2?4x?1?a?R? 19．已知f(x)?3（1）当a??1时，求函数的单调区间。 （2）当a?R时，讨论函数的单调增区间。
（3）是否存在负实数a，使x???1,0?，函数有最小值－3
a220．已知函数f?x??x?，g?x??x?lnx，其中a?0．
x（1）若x?1是函数h?x??f?x??g?x?的极值点，求实数a的值；
（2）若对任意的x1,x2??1，e?（e为自然对数的底数）都有f?x1?≥g?x2?成立，求实数a的
取值范围．
第三章《导数及其应用》单元测试题答案
一、选择题
CABAA DDCBB
?1??3?? 14. (1)a?1;(2)a??3;(3)a??3. 二、11．?,??? 12．32 13．?0,???,?????e??2???4?三、解答题
18?12x3???4.5?3x(m)15. 解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为h??0＜x＜?. 42??3故长方体的体积为V(x)?2x2(4.5?3x)?9x2?6x3(m3)(0＜x＜).
2从而V?(x)?18x?18x2(4.5?3x)?18x(1?x).
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
2当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，
3故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
233
从而最大体积V＝V′（x）＝9×1-6×1（m），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
3
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m。
216．解：（1）f?(x)?6x?6ax?3b，
因为函数f(x)在x?1及x?2取得极值，则有f?(1)?0，f?(2)?0． 即??6?6a?3b?0，解得a??3，b?4．
?24?12a?3b?0．32（2）由（Ⅰ）可知，f(x)?2x?9x?12x?8c，
f?(x)?6x2?18x?12?6(x?1)(x?2)． 当x?(01)，时，f?(x)?0；当x?(1，2)时，f?(x)?0；当x?(2，3)时，f?(x)?0． 所以，当x?1时，f(x)取得极大值f(1)?5?8c，又f(0)?8c，f(3)?9?8c．
则当x??0，3?时，f(x)的最大值为f(3)?9?8c．
因为对于任意的x??0，3?，有f(x)?c恒成立，所以 9?8c?c2，解得 c??1或c?9，
2因此c的取值范围为(??，?1)U(9，??)．
3217．解: (1)令f?(x)?(?x?3x?2)???3x?3?0解得x?1或x??1
当x??1时,f?(x)?0, 当?1?x?1时,f?(x)?0 ,当x?1时,f?(x)?0
所以,函数在x??1处取得极小值,在x?1取得极大值,故x1??1,x2?1,f(?1)?0,f(1)?4 所以, 点A、B的坐标为A(?1,0),B(1,4).
(2) 设p(m,n)，Q(x,y)，PA?PB???1?m,?n???1?m,4?n??m2?1?n2?4n?4
y?n1y?n1?x?m??2??4? kPQ??，所以??，又PQ的中点在y?2(x?4)上，所以22x?m2?2?22消去m,n得?x?8???y?2??9.
2另法：点P的轨迹方程为m??n?2??9,其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为3的圆；设点（0，
22）关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为3的圆，由
b?21??，a?02b?2?a?0??2??4?得a=8,b=-2 2?2?218．解（1）f?(x)?6x?6x,f?(2)?12,f(2)?7, ………………………2分
∴曲线y?f(x)在x?2处的切线方程为y?7?12(x?2)，即12x?y?17?0；……4分
322（2）记g(x)?2x?3x?m?3,g?(x)?6x?6x?6x(x?1)
令g?(x)?0,x?0或1. …………………………………………………………6分 则x,g?(x),g(x)的变化情况如下表
(??,0) 0 (0,1) 1 (1,??) x g?(x) ? 0 0 ? ? g(x) Z 极大 ] 极小 Z 当x?0,g(x)有极大值m?3;x?1,g(x)有极小值m?2. ………………………10分
?g(0)?0?m?3?0,即?,?3?m??2时，
?g(1)?0?m?2?0函数g(x)有三个不同零点，过点A可作三条不同切线.
所以若过点A可作曲线y?f(x)的三条不同切线，m的范围是(?3,?2).…………14分 19．（1）x????,?2?,或x??2,???,f(x)递减; x???2,2?,f(x)递增; （2）1、当a?0,
由g(x)的简图知，当且仅当?x????,?2?,2?2?f(x)递增;2、当a?0,x??当0?a?1,x????,2?,或x???,2?,f(x)递增;3、?,???,f(x)递
?a??a??a?2?增; 当a?1,x????,???,f(x)递增;当a?1,x?????,?,或x??2,???,f(x)递增;（3）因a?0,由②分
两类（依据：单调性，极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”：
32?1、当2??1,?a??2, x???1,0????,2?,f(x)递增，f(x)min?f(?1)??3，解得a????2, 4a?a?2、当2??1,?a??2,由单调性知：f(x)min?f()??3，化简得：3a2?3a?1?0，解得
aa3?3?21a???2,不合要求；综上，a??为所求。
642a2?lnx，其定义域为?0，20．（1）解法1：∵h?x??2x? ???， xa21∴h??x??2?2?．
xx2∵x?1是函数h?x?的极值点，∴h??1??0，即3?a?0．
∵a?0，∴a?经检验当a?3．
3时，x?1是函数h?x?的极值点，∴a?3．
a2a21?lnx，其定义域为?0，解法2：∵h?x??2x????，∴h??x??2?2?． xxxa2122令h??x??0，即2?2??0，整理，得2x?x?a?0．
xx2∵??1?8a?0，
?1?1?8a2?1?1?8a2∴h??x??0的两个实根x1?（舍去），x2?，
44当x变化时，h?x?，h??x?的变化情况如下表：
x ?0,x2? — x2 0 极小值 ?x2,??? ＋ h??x? h?x? ] Z ?1?1?8a2?1，即a2?3， 依题意，
4∵a?0，∴a?3． （2）解：对任意的x1,x2??1，e?都有f?x1?≥g?x2?成立等价于对任意的x1,x2??1，e?都有