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rest 11-4_1.sav
set dyn damp rayleigh 2 22.8 mass solve age=0.08 title
vertical displacement versus time (mass damping only) plot show pause
;（3）只有刚度分量 rest 11-4_1.sav
set dyn damp rayleigh 2 22.8 stiffness solve age=0.08 title
vertical displacement versus time (stiffness damping only) plot show
三种计算结果得到的竖向位移时程曲线均如图11-13所示，表明三种情况都达到了临界阻尼状态。但是三种计算工况下的时间步存在较大差别，具体见表11-1所示。可以看出，瑞利阻尼中刚度分量的设置大大降低了FLAC3D中的动力时间步。
表11-1 瑞利阻尼三种参数格式下的计算时间步比较
计算工况 （1）质量分量和刚度分量共同作用 7.8E-5 （2）只有质量分量 （3）只有刚度分量 时间步 5.9E-4 3.9E-5 FLAC3D 3.00Step 202515:29:37 Fri Apr 04 2008Job Title: vertical displacement versus time (stiffness damping only)x10^-4History 1 Z-Displacement Gp 56 Linestyle -5.371e-004 <-> -1.561e-008-0.5-1.0 Vs. 2 Dynamic Time 3.951e-005 <-> 8.001e-002-1.5-2.0-2.5-3.0-3.5-4.0-4.5-5.0Itasca Consulting Group, Inc.Minneapolis, MN USA 1.0 2.0 3.0 4.0x10^-2 5.0 6.0 7.0 8.0 图11-13 竖向位移时程曲线的临界阻尼状态
11.5.2 局部阻尼（Local damping）
局部阻尼是FLAC3D静力计算中采用的阻尼形式，但是它的一些特性可以用来进行动力计算。它在振动循环中通过在节点或结构单元节点上增加或减小质量的方法达到收敛，由于增加的单元质量和减小的相等，因此总体来说，系统保持质量守恒。当节点速度的符号改变时增加节点质量，当速度达到最大值（或最小值）时减小节点质量。因此损失的能量?W是最大瞬时应变能W的一定比例，这个比值?W/W，是与频率无关和率无关的。因为?W/W是临界阻尼比D的函数：
局部阻尼的设置命令为：
SET dyn damp local 局部阻尼系数
?L??D
其中，?L为局部阻尼系数，临界阻尼比的取值可以参考瑞利阻尼中的?min。
（11-11）
局部阻尼系数不用求解系统的自振频率，而且相对于瑞利阻尼而言不会减小时间步，从这个意义上来说具有较大的优势。但局部阻尼只适合于简单问题的求解，实践证明设置局部阻尼不能有效地衰减复杂波形的高频部分，计算结果会产生一些高频“噪声”。因此，在使用时需慎重，最好将局部阻尼与瑞利阻尼的结果进行对比分析。
继续沿用例11.4中的保存文件11-4_1.sav，比较瑞利阻尼和局部阻尼的计算结果。瑞利阻尼中临界阻尼比设为5%，根据公式（11-11）可知局部阻尼的阻尼系数为0.1571。
例11.6：局部阻尼的例子
rest 11-4_1.sav
set dyn damp rayleigh 0.05 22.8 set hist_rep=5 solve age=0.5 title
vertical displacement versus time (5% Rayleigh damping) plot show pause rest 11-4_1.sav
set dyn damp local 0.1571 ; = pi * 0.05 set hist_rep=5 solve age=0.5 title
vertical displacement versus time (5% Local damping) plot show
计算结果见图11-14所示，可以看出两种阻尼形式具有相同的计算结果。另外，从时间步上看，瑞利阻尼的时间步为4.9E-4，而局部阻尼的时间步为5.9E-4，局部阻尼的时间步略大于瑞利阻尼，但二者相差并不明显。这是因为瑞利阻尼中质量分量的比例（?值）较小，读者可以通过PRINT dynamic输出动力计算信息了解瑞利阻尼中两种分量的比例。
FLAC3D 3.00Step 142016:02:52 Fri Apr 04 2008Job Title: vertical displacement versus time (5% Rayleigh damping)x10^-4FLAC3D 3.00Step 117916:02:35 Fri Apr 04 2008Job Title: vertical displacement versus time (5% Local damping)x10^-4-1.0-1.0History 1 Z-Displacement Gp 56 Linestyle -9.881e-004 <-> -3.623e-005-2.0History 1 Z-Displacement Gp 56 Linestyle -9.888e-004 <-> -4.737e-005-2.0 Vs. 2 Dynamic Time 2.466e-003 <-> 7.002e-001-3.0 Vs. 2 Dynamic Time 2.970e-003 <-> 6.978e-001-3.0-4.0-4.0-5.0-5.0-6.0-6.0-7.0-7.0-8.0-8.0-9.0-9.0Itasca Consulting Group, Inc.Minneapolis, MN USA 1.0 2.0 3.0x10^-1 4.0 5.0 6.0 7.0
Itasca Consulting Group, Inc.Minneapolis, MN USA 1.0 2.0 3.0 4.0x10^-1 5.0 6.0 瑞利阻尼 局部阻尼
图11-14 瑞利阻尼与局部阻尼的比较
11.5.3 滞后阻尼（Hysteretic damping）
FLAC3D将土动力学中岩土体的滞后特性用阻尼的形式加入到程序中。使用模量衰减系数Ms来描述土体的非线性特性。假设土体为理想粘弹性体，可以从模量衰减曲线上得到归一化的剪应力?：
示为：
Mt???Ms? dMsd? ?Ms??d?d?（11-12）（11-13）
式中，?为剪应变，Ms为归一化的割线模量，Mt为归一化的切线模量。则增量剪切模量G可以表
其中，G0为小应变下的剪切模量。
G?G0Mt
（11-14）
图11-15 模量衰减曲线（Seed & Idriss）
滞后阻尼是与材料无关的阻尼格式，在动力计算中，滞后阻尼可以满足Masing二倍法，从而构造土
体在动力作用下的滞回圈。另外，滞后阻尼的优点是：
? 可以直接采用动力试验中的模量衰减曲线；
? 相对于瑞利阻尼而言，滞后阻尼不影响动力计算的时间步； ? 可以应用于任意的材料模型，且可以与其它阻尼格式同时使用。
滞后阻尼与瑞利阻尼及局部阻尼的设置不同，采用的是初始条件INITIAL命令。
INITIAL damp hyst
FLAC3D中滞后阻尼提供了多种形式的割线模量衰减曲线模型，包括默认模型（default）、S型模型（包括三参数模型Sig3和四参数模型Sig4）以及哈丁模型（Hardin）。下面对这几种模型做简要介绍。
1. 默认模型
默认模型中Ms曲线可以用式（11-15）的三次方程来拟合。
其中
s?L2-L L2-L1Ms=s2(3?2s)
（11-15）
（11-16） （11-17）
L?log10(?)
L1和L2为默认模型的两个参数，表示Ms曲线的循环应变范围。比如L1=-3，L2=1表示Ms曲线中循
环应变的最小值是0.001%（10-3），最大值是10%（101），因此可见默认模型的参数确定较简单，设置方法是：
INITIAL damp hyst default L1 L2
2. S型模型
S型模型包括三参数模型和四参数模型，采用如下的公式来拟合Ms曲线。 Sig3模型包含a，b，x0三个参数：
设置命令为：
INITIAL damp hyst sig3 a b x0
Ms?a
1?exp(-(L-x0)/b)（11-18）
Sig4模型包含a，b，x0和y0四个参数：
设置命令为：
INITIAL damp hyst sig4 a b x0 y0
Ms?y0+a
1?exp(-(L-x0)/b)（11-19）
3. 哈丁模型
滞后阻尼中有一种Hardin / Drnevich模型，采用式（11-20）的双曲线公式来拟合Ms曲线：
Ms?1
1??/?ref（11-20）
其中，?ref为参考应变，一般取G/Gmax=0.5时的对应的应变值。 哈丁模型只有一个参数，设置命令为： INITIAL damp hyst hardin ?ref
表11-2提供了图11-15中模量衰减曲线的拟合结果，表11-3提供了黏土的模量衰减曲线拟合结果，