发布时间 : 星期三 文章2010-2019十年高考数学真题分类汇编专题08 数列 学生版+解析版更新完毕开始阅读
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=(-1)????,求数列{bn}的前n项和Tn.
????+1【解析】(1)因为S1=a1,S2=2a1+S4=4a1+2×2=4a1+12, 由题意得(2a1+2)=a1(4a1+12), 解得a1=1,所以an=2n-1. (2)bn=(-1)
n-1
2n-1
4??
2×1
×2=2a1+2, 24×3
4??????????+1
=(-1)
n-1
4??
(2??-1)(2??+1)
=(-1)=
n-1
(2??-1+2??+1).当n为偶数时,Tn=(1+3)?(3+
n为奇数时,Tn=(1+)?(+)+…-(+)+3352??-32??-1或
2??+1+(-1)
Tn=2??+1
2
1111
111111
+…+(+?(+=1-)))52??-32??-12??-12??+12??+111
+2??-12??+1
1
=1+2??+1
2??+2
.所以2??+1
2??
.当2??+1
11111
=
2??+2
,??为奇数,2??+1Tn={2??
,??为偶数.2??+1
??-1
.
48.(2014·全国1·文T17)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x-5x+6=0的根. (1)求{an}的通项公式;
??
(2)求数列{??}的前n项和.
??
2
【解析】(1)因为方程x-5x+6=0的两根为2,3, 由题意得a2=2,a4=3.
(等差数列性质)设数列{an}的公差为d, 则a4-a2=2d,故d=,从而a1=. 所以{an}的通项公式为an=n+1. ??
(2)(错位相减法)设{??}的前n项和为Sn,
2
1
23212??2
由(1)知
????2??=
??+221
??+1,则
Sn=
1
33
22
+
42
3+…+
??+1??+213??+??+1,Sn=32222
+
422
4+…+??+1??+1
2
+
??+22??+2. Sn=2-??+42??+1两式相减,得2Sn=4+(
3
2
+…+
2
??+1)1
?
??+22
??+2=4+4(1-
31
??-1)
1
?
??+22
??+2.所以
*
.
49.(2014·安徽·文T18)数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N.
??
(1)证明:数列{??}是等差数列;
??
(2)设bn=3·√????,求数列{bn}的前n项和Sn.
??????+1??+1【解析】(1)证明由已知可得??+1=??+1,即??+1???=1.
n
????????
49
所以{??}是以1=1为首项,1为公差的等差数列.
??
(2)解由(1)得??=1+(n-1)·1=n,所以an=n.从而bn=n·3.
2
n
??
????1??
Sn=1·3+2·3+3·3+…+n·3, ① 3Sn=1·3+2·3+…+(n-1)·3+n·3. ①-②得,-2Sn=3+3+…+3-n·3
??+13·(1-3??)-3n+1(1-2??)·3=1-3-n·3=, 21
2
n
n+1
2
3
n
n+1
123n
②
所以Sn=
(2??-1)·3??+1+3
. 450.(2014·山东·文T19)在等差数列{an}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=
an(n+1)
,记2Tn=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)bn,求Tn.
2
n
【解析】(1)由题意知(a1+d)=a1(a1+3d), 即(a1+2)=a1(a1+6),解得a1=2, 所以数列{an}的通项公式为an=2n. (2)由题意知bn=所以时
an(n+1)
=n(n+1), 2n
2
Tn=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)n·(n+1).因为bn+1-bn=2(n+1),可得当
n
2(4+2n)
nn
为偶数为
奇
数
,Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-bn-1+bn)=4+8+12+…+2n=
2
2=
n(n+2)2,当
(n-1)(n+1)(n+1)
时,Tn=Tn-1+(-bn)=-n(n+1)=-22. 所以
(n+1)
-,n为奇数,2Tn={ n(n+2)
,n为偶数.2
2
51.(2014·大纲全国·文T17)数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式.
【解析】(1)证明由an+2=2an+1-an+2得an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1, 所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列. (2)解由(1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=2n-1. 于是∑(ak+1-ak)=∑(2k-1),
k=1
k=1
n
n
所以an+1-a1=n,即an+1=n+a1.
50
22