发布时间 : 星期六 文章核心突破专题十三 复数、推理与证明更新完毕开始阅读
b2?c2?a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，∴
b2?c2?a2必为有理数，
2bc∴cosA是有理数。
（2）①当n?1时，显然cosA是有理数；当n?2时，∵cos2A?2cos2A?1，因为cosA是有理数， ∴cos2A也是有理数；②假设当n?k(k?2)时，结论成立，即coskA、cos(k?1)A均是有理数。
当n?k?1时，cos(k?1)A?coskAcosA?sinkAsinA，
1cos(k?1)A?coskAcosA?[cos(kA?A)?cos(kA?A)]，
211cos(k?1)A?coskAcosA?cos(k?1)A?cos(k?1)A22cos(k?1)A?2coskAcosA?cos(k?1)A
，解得：
∵cosA，coskA，cos(k?1)A均是有理数，∴2coskAcosA?cos(k?1)A是有理数， ∴cos(k?1)A是有理数。即当n?k?1时，结论成立。综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。
AB2?AC2?BC2方法二：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cosA?是有理数。
2AB?AC（2）用数学归纳法证明cosnA和sinA?sinnA都是有理数。
①当n?1时，由（1）知cosA是有理数，从而有sinA?sinA?1?cosA也是有理数。 ②假设当n?k(k?1)时，coskA和sinA?sinkA都是有理数。 当n?k?1时，由cos(k?1)A?cosA?coskA?sinA?sinkA，
2sinA?sin(k?1)A?sinA?(sinA?coskA?cosA?sinkA)?(sinA?sinA)?coskA?(sinA?sinkA)?cosA，
及①和归纳假设，知cos(k?1)A和sinA?sin(k?1)A都是有理数。
即当n?k?1时，结论成立。综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。
3?1?c,c?N*,其中c为实数（Ⅰ）证明：an?[0,1]对任19、设数列{an}满足a1?0,an?1?can意n?N*成立的充分必要条件是c?[0,1]；（Ⅱ）设0?c?1，证明：an…1?(3c)n?1,n?N*;
322（Ⅲ）设0?c?1，证明：a12?a2??an?n?1?2,n?N*
1?3c3【解析】（Ⅰ）必要性：∵a1?0,a2?1?c，又∵a2?[0,1]，∴0剟1?c充分性：设c?[0,1]，对任意n?N*用数学归纳法证明an?[0,1].
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1，即c?[0,1].
3当n?1时，a1?0?[0，则ak?1?cak1].假设当n?k时，ak?[0,1](k…1)，?1?c?c?1?c?1，
3且ak?1?cak?1?c厖1?c0，ak?1?[0,1].由数学归纳法知，an?[0,1]对任意n?N*成立.
(Ⅱ) 设0?c?1，当n?1时，a1?0，结论成立；
3332当n…2时，∵an?can?1?1?c，∴1?an?c(1?an?1)?c(1?an?1)(1?an?1?an?1). 2∵0?c?1，由（Ⅰ）知an?1?[0,1]，∴1?an?1?an?1?3且1?an…0， 3∴1?an剟3c(1?an?1)∴an…1??3c?n?1(3c)2(1?an?2)剟?(3c)n?1(1?a1)?(3c)n?1，
,n?N*.
(Ⅲ)设0?c?1,当n?1时，a12?0?2?2，结论成立；当n…2时，由(Ⅱ)知
31?3can…1??3c?n?1?0，
2∴an?[1?(3c)n?1]2?1?2(3c)n?1?(3c)2(n?1)?1?2(3c)n?1.
2222∴a12?a2???an?a2???an?n?1?2[(3c)?(3c)2???(3c)n?1]
2[1?(3c)n]?n?1??n?1?2.
1?3c1?3c20、已知数列?an?：a1?1，a2?2，a3?r，an?3?an?2（n是正整数），与数列?bn?：
b1?1，b2?0，b3??1，b4?0，bn?4?bn（n是正整数）．记
Tn?b1a1?b2a2?b3a3???bnan．（1）若a1?a2?a3???a12?64，求r的值；（2）求
证：当n是正整数时，T12n??4n；
（3）已知r?0，且存在正整数m，使得在T12m?1，T12m?2，?，T12m?12中有4项为100．求
r的值，并指出哪4项为100．
【解析】（1）a1?a2?a3?...?a12?1?2?r?3?4??r?2??5?6??r?4??7?8??r?6?
?48?4r.∵ 48?4r?64,?r?4.
（2）用数学归纳法证明：当n?Z?时,T12n??4n.
① 当n=1时，T12?a1?a3?a5?a7?a9?a11??4,等式成立 ② 假设n=k时等式成立，即T12k??4k,那么当n?k?1时，
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T12?k?1??T12k?a12k?1?a12k?3?a12k?5?a12k?7?a12k?9?a12k?11
??4k??8k?1???8k?r???8k?4???8k?5???8k?r?4???8k?8?
??4k?4??4?k?1?,等式也成立.根据①和②可以断定：当n?Z?时,T12n??4n.
（3）T12m??4m?m?1?.
当n?12m?1,12m?2时，Tn?4m?1;当n?12m?3,12m?4时，Tn??4m?1?r;当n?12m?5,12m?6时，Tn?4m?5?r; 当n?12m?7,12m?8时，Tn??4m?r;当n?12m?9,12m?10时，Tn?4m?4;当n?12m?11,12m?12时,Tn??4m?4.? ∵ 4m+1是奇数，?4m?1?r,?4m?r,?4m?4均为负数，
∴ 这些项均不可能取到100.此时，T293,T294,T297,T298为100.
21、已知数列?an?，an?0，a1?0，an?1?an?1?1?an(n?N)．记
22?Sn?a1?a2???an．Tn??111????． 1?a1(1?a1)(1?a2)(1?a1)(1?a2)?(1?an)求证：当n?N时，（Ⅰ）an?an?1；（Ⅱ）Sn?n?2；（Ⅲ）Tn?3。 【解析】（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．
①当n?1时，因为a2是方程x?x?1?0的正根，所以a1?a2． ②假设当n?k(k?N)时，ak?ak?1，
因为ak?1?ak?(ak?2?ak?2?1)?(ak?1?ak?1?1)?(ak?2?ak?1)(ak?2?ak?1?1)， 所以ak?1?ak?2．即当n?k?1时，ak?1?ak?2也成立． 根据①和②，可知an?an?1对任何n?N都成立．
（Ⅱ）证明：由ak?1?ak?1?1?ak，k?1，得，2，?，n?1（n≥2）
2an?(a2?a3???an)?(n?1)?a12．
222*2222*因为a1?0，所以Sn?n?1?an．由an?an?1及an?1?1?an?2an?1?1得an?1， 所以
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Sn?n?2．
（Ⅲ）证明：由ak?1?ak?1?1?ak≥2ak，得
22a1≤k?1(k?23，，?，n?1，n≥3)
1?ak?12ak所以
a1≤n?2n(a≥3)，
(1?a3)(1?a4)?(1?an)2a2ana11≤n?22?nn?(n≥3)，
(1?a2)(1?a3)?(1?an)2(a2?a2)2?22n?2于是
故当n≥3时，Tn?1?1?11???n?2?3，又因为T1?T2?T3， 所以Tn?3． 22本卷第24页（共24页）