发布时间 : 星期六 文章多元函数微分法及其应用习题及答案更新完毕开始阅读
关于y求导，有
c2y2y2z?2?zy?0，即zy??2。 2bzbc10．设z?ye2x?xsin2y，求所有二阶偏导数。 解：先求一阶偏导数，得
?z?z?e2x?2xcos2y ?2ye2x?sin2y，?y?x再求二阶偏导数，得
?2z???z??2ye2x?sin2y?4ye2x， 2?????x??x??x?x???2z???z??????2ye2x?sin2y?2e2x?2cos2y，
?x?y?y??x??y???2z???z??2x2x? ???e?2xcos2y?2e?2cos2y， ??y?y?x?x??y?????2z???z??2x? ???e?2xcos2y??4xsin2y 2???y??y??y?y??11．设z?f?x,y?是由方程
xz?z?z?ln确定的隐函数，求，。 zy?y?x解一：记F?x,y,z??xz?ln，则 zy Fx??1，Fy???zy?z?1?x1x?z???， F??????z222??zz?y?yzx1F??zz 当Fz??0时，便得， ??x??z?x?2?xFz?x?z?2zFy??z?? ?yFz?1z2y???。
x?zy?x?z??2z解二：（提示）直接对方程
xz?ln两边求偏导数，并明确z是x、y的函数，即可zy?z?x，?z?y。 12．设xy?ey?ex，求
dydx。 解：令F?x,y??xy?ey?ex，则Fxx??y?e，Fy??x?ey，则
dydx??Fx?y?ex F??y。 y?x?e13．设z?f?x,y?是由方程ez?z?xy3?0确定的隐函数，求?z?x，解：方程两边对x求偏导数，有
ez?z?z?x??x?y3?0，即?ez?1??z?x?y3?0 ?zy3 解得 ?x?1?ez
类似地，方程两边对y求偏导数，解得
?z3xy2 ?y?1?ez 再求二阶混合偏导数，得
?2z???z?3y2?1?ez??y3?????ez?z??y????z?y??y???x????1?ez?2 把上述
?z?y的结果代入，便得： ?2z3y2??1?ez?xy3ez?x?y???21?ez??3。
14．设z?yex2?cosy，求全微分dz。 解：由于
?z?2xyex2?z2?x，?y?ex?siny，所以全微分为 dz??z22?xdx??z?ydy?2xyexdx??ex?siny?dy。 15．求函数z?ln?2?x2?y2?在点?1,2?的全微分。
?z?y，?2z?x?y。得
解：
?z?x??1,2?2x2?x2?y2??1,2?2?z，7?y??1,2?2y2?x2?y2??1,2?4 7 所以dz?24dx?dy。 7716．利用全微分求
?2.98?2??4.01?2的近似值。
xx?y22解：设z?x2?y2，则全微分dz? 由近似关系?z?dz，得
?x?yx?y22?y
?x??x?2??y??y?2?x2?y2?xx?y22?x?yx?y22?y
上式中取x?3，?x??0.02，y?4，?y?0.01，得
?2.98?2??4.01?2?32?42?33?422???0.02??43?422?0.01
?5?0.012?0.008?4.996 因此，所求近似值
?2.98?2??4.01?2?4.996。
17．求抛物面z?x2?y2与抛物柱面y?x2的交线上的点P?1,1,2?处的切线方程和平面方程。
2??y?x解：交线方程?，只要取x作参数，得参数方程： 22??z?x?y?x?x,? ?y?x2,
?z?x2?x4,?则有
dxdydz?1，?2x，?2x?4x3，于是交线在点P?1,1,2?处的切线向量为dxdxdxT??1,2,6?。
切线向量为
x?1y?1z?2?? 126法平面方程为?x?1??2?y?1??6?z?2??0，即x?2y?6z?15?0。
x2y2z2???3上点P?2,?1,3?处的切平面方程和法线方程。 18．求曲面419x2y2z2???3，则 解：记F?x,y,z??419Fx??x,y,z??x2，Fy??x,y,z??2y，Fz??x,y,z??z 29于是曲面在点P处的法线向量为
2???n??Fx??2,?1,3?,Fy??2,?1,3?,Fz??2,?1,3????1,?2,?
3??从而，切平面方程为1??x?2??2?y?1??方程为
x?2y?1z?3??。 1?2232?z?3??0，即x?2y?2z?6?0，法线3319．求曲线x?4t，y?t2，z?t3上点M0?x0,y0,z0?，使在该点处曲线的切线平行3于平面x?2y?z?6。
解：曲线在点M0?x0,y0,z0?处的切线方程为
x?x0y?y0z?z0?? x??t0?y??t0?z??t0?又切线与平面x?2y?z?6平行，即切线的方向向量和平面的法向量垂直，应有
x??t0??1?y??t0??2?z??t0??1?0，即
422?4t0?3t0?0，得t0?? 33?848?所以M0点的坐标为??,,??。
?9927?20．求函数f?x,y??4?x?y??x2?y2的极值。
?fx?x,y??4?2x?0解：解方程组?，求得驻点?2,?2?，由于A?fxx?2,?2???2?0，
??fx,y??4?2y?0?yB?fxy?2.?2??0，C?fyy?2,?2???2，AC?B2?0，所以在点?2,?2?处，函数取得极
大值，极大值为f?2,?2??9。
21．求函数f?x,y??e2x?x?y2?2y?的极值。
2x2??fx?x,y??e?2x?2y?4y?1??0?1?,?1解：解方程组?，得驻点??。由于2x?2???fy?x,y??e?2y?2??0A?fxx?x,y??4e2xx?y2?2y?1，B?fxy?xy??4e2x?y?1?，C?fyy?x,y??2e2x在点
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