发布时间 : 星期一 文章多元函数微分法及其应用习题及答案更新完毕开始阅读
29．求函数f?x,y??ex?y的n阶麦克劳林公式，并写出余项。 30．利用函数f?x,y??xy的2阶泰勒公式，计算1?11.02的近似值。
(C)
1．证明limxyx?y22x?0y?0?0。
2．设f?x,y??|x?y|??x,y?，其中??x,y?在点?0,0?，邻域内连续，问(1)??x,y?在什么条件下，偏导数fx??0,0?，fy??0,0?存在；(2)??x,y?在什么条件下，f?x,y?在?0,0?处可微。
3．设y?f?x,t?而t为由方程??x,y,t??0所决定的函数，且??x,y,t?是可微的，试求
dy。 dx?2t4．设z?z?x,y?由z?lnz??edt?0确定，求。
y?x?yx?t2?x?y?z?u?v?15．从方程组?2中求出ux，vx，ux2，vx2。 2222?x?y?z?u?v?16．设z?u?x,y?eax?by?2u?0，试确定常数a，b，使函数z?z?x,y?能满足方，且
?x?y?2z?z?z???z?0。 程：
?x?y?x?y7．证明：旋转曲面z?f?x2?y2(f??0)上任一点处的法线与旋转轴相交。
?8．试证曲面x?y?z?a(a?0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a。
9．抛物面z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
10．设x轴正向到方向l的转角为?，求函数f?x,y??x2?xy?y2在点?1,1?沿方向l的方向导数，并分别确定转角?，使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于0。
第八章 多元函数微分法及其应用
(A)
1．填空题
?2z?2z(1)若z?f?x,y?在区域D上的两个混合偏导数， 连续 ，则在D上，
?x?y?y?x?2z?2z?。 ?x?y?y?x(2)函数z?f?x,y?在点?x0,y0?处可微的 必要 条件是z?f?x,y?在点?x0,y0?处的偏导数存在。
(3)函数z?f?x,y?在点?x0,y0?可微是z?f?x,y?在点?x0,y0?处连续的 充分 条件。
y 2．求下列函数的定义域
(1)z?x?y 解：设定义域为D，由
y?0和x?y?0，即x2?y?0，x?0
O (0,1) x 图1 得D???x,y?|x?0,y?0,x?y?，如图1所示
2(2)u?arccoszx?y22
解：设定义域为D，由
x2?y2?0，即x，y不同时为零，且
zx?y22?1，
即 z2?x2?y2，得
D??x,y,z?|z2?x2?y2,x2?y2?0。
??3．求下列各极限 (1)limsinxyxy (2)lim
x?0x?0xxy?1?1y?0y?0xy(xy?1?1)?sinxy??lim??y解：原式?lim? 解：原式 ?x?0x?0?xy(xy?1?1)(xy?1?1)?y?0y?0? ?1?0?0 ?lim1?cos(x2?y2)(3)lim
x?0(x2?y2)x2y2y?0??22??x?y22sin?x2?y2?2?解：原式?lim? 22?x?02224xy?y?0??x?y???????2????x?0y?0?xy?1?1?2
? ??111????? lim??22??x?02y?0?xy??3z?3z4．设z?xln?xy?，求2及 2?x?y?x?y解：
?zy?ln?xy??x??ln?xy??1 ?xxy?2zy1?3z??，2?0， 2xyx?x?y?x?2zx1?3z1??， ??2?x?yxyy?x?y2y5．求下列函数的偏导数 (1)z?arctg?z?解：?xy x1?x?y????? 22?y2?x?y????y?x2???222?x?x?x?y?y?1????x? 类似地
?z??x??y?x ???222?yxx?y???y?1????x?1(2)z?ln?xy? 解：
?z?1111 ?lnx?lny????x?x2lnx?lnyx2xlnxy?z1 ??y2ylnxy 同理可证得：
(3)u?exyz
?zxy2z3?2323xy2z3解： ?exyz?yze?x?x23??
223?u??exyzxy2z3?2xyz3exyz ?y?y??23?23?u?exyzxy2z3?3xy2z2exyz ?z?z??6．设z?uv2?tcosu，u?et，v?lnt，求全导数
?z??uv2?tcosu?v2?tsinu， ?u?u?z??z ?uv2?tcosu?2uv，?cosu
?v?v?tdz。 dt解：
???? 依复合函数求导法则，全导数为
dz?zdu?zdv?zdt?????? dt?udt?vdt?tdt1 ?v2?tsinuet?2uv??cosu?1
t2 ?ln2t?tsinetet?etlnt?coset
t
????7．设u?ex?y?z?，x?t，y?sint，z?cost，求解：
du?udx?udy?udz??? dt?xdt?ydt?zdtdu。 dt ?ex?y?z??excost?exsint ?2etsint
?x2?y2?z?8．曲线?4，在点(2,4,5)处的切线对于x轴的倾角是多少
?y?4?解：
?z2xx?z??，?x42?z?1?tg?，故???2,4,5??4。
x2y2z29．求方程2?2?2?1所确定的函数z的偏导数。
abc解：关于x求导，得到
c2x2x2z??zx?0，即zx??2
aza2c2