2017-2018学年高中数学选修4-4全册学案含解析人教A版99P 联系客服

发布时间 : 星期一 文章2017-2018学年高中数学选修4-4全册学案含解析人教A版99P更新完毕开始阅读

πsin

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∴sin∠OPO′=223=,

22π

∴∠OPO′=. 3

πππ

∴∠OP′P=π--=,

3332π

∴∠PP′x=. 3

∴∠PO′x′=. 3

?2π?∴P点的新坐标为?2,?.

3??

(2)如图,设P点新坐标为(ρ,θ), πππ

则ρ=4,θ=+=. 362

?π?∴P点的新坐标为?4,?.

2??

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1.圆的极坐标方程

1.曲线的极坐标方程

(1)在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ,θ)=0,并且坐标适合方程f(ρ,θ)=0的点都在曲线C上,那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C的极坐标方程.

(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤:

①建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上任意一点. ②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式. ③将列出的关系式整理、化简. ④证明所得方程就是曲线的极坐标方程. 2.圆的极坐标方程

(1)圆心在C(a,0)(a>0),半径为a的圆的极坐标方程为ρ=2acos θ. (2)圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程为ρ=r.

?π?(3)圆心在点?a,?处且过极点的圆的方程为ρ=2asin_θ(0≤θ≤π).

2??

圆的极坐标方程 求圆心在(ρ0,θ0),半径为r的圆的方程. 结合圆的定义求其极坐标方程.

如图,在圆周上任取一点P, 设其极坐标为(ρ,θ). 由余弦定理知:

CP2=OP2+OC2-2OP2OCcos∠COP,

故其极坐标方程为r=ρ0+ρ-2ρρ0cos(θ-θ0).

几种特殊情形下的圆的极坐标方程

当圆心在极轴上即θ0=0时,方程为r=ρ0+ρ-2ρρ0cos θ,若再有ρ0=r,则其方程为ρ=2ρ0cos θ=2rcos θ,若ρ0=r,θ0≠0,则方程为ρ=2rcos(θ-θ0),

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2

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2

2

2

2

这几个方程经常用来判断图形的形状和位置.

a?aπ?1.在极坐标系中,以?,?为圆心,为半径的圆的方程是________. 2?22?

解析:即在直角坐标系中以?0,?为圆心,为半径的圆,

2?2?

?

a?

a?a?2a∴方程为x+?y-?=.

?2?4

2

2

即:x+y-ay=0,化为极坐标方程为:ρ=asin θ. 答案:ρ=asin θ

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?3π?2.求圆心在A?2,?处并且过极点的圆的极坐标方程.

2??

解:设M(ρ,θ)为圆上除O,B外的任意一点,连接OM,MB,则有OB=4,OM=ρ,3π

∠MOB=θ-π.∠BMO=,

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从而△BOM为直角三角形. ∴|OM|=|OB|cos∠MOB,

3??即ρ=4cos?θ-π?=-4sin θ.

2??

极坐标方程与直角坐标方程的互化 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化: (1)y=4x;(2)x+y-2x-1=0; 1

(3)ρ=.

2-cos θ

将方程的互化转化为点的互化:

??x=ρcos θ,?

?y=ρsin θ,?

2

2

2

ρ=x+y,??

?ytan θ=?x≠0?.?x?

222

2

(1)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入y=4x, 得(ρsin θ)=4ρcos θ. 化简,得ρsinθ=4cos θ. (2)将x=ρcos θ,y=ρsin θ

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代入x+y-2x-1=0,

得(ρcos θ)+(ρsin θ)-2ρcos θ-1=0, 化简,得ρ-2ρcos θ-1=0. 1

(3)∵ρ=,

2-cos θ∴2ρ-ρcos θ=1. ∴2x+y-x=1.

化简,得3x+4y-2x-1=0.

在进行两种坐标方程间的互化时,要注意

(1)互化公式是有三个前提条件的,即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合,两种坐标系的单位长度相同.

(2)由直角坐标求极坐标时,理论上不是唯一的,但这里约定只在0≤θ<2π范围内求值.

(3)由直角坐标方程化为极坐标方程,最后要注意化简.

(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性,通常总要用ρ去乘方程的两端.应该检查极点是否在曲线上,若在,是等价变形;否则,不是等价变形.

3.把下列直角坐标方程化为极坐标方程. (1)y=3x; (2)x-y=1.

解:(1)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入y=3x,得 πρsin θ=3ρcos θ,从而θ=.

3

(2)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x-y=1,得 122222

ρcosθ-ρsinθ=1,化简,得ρ=.

cos 2θ4.把下列极坐标方程化为直角坐标方程. (1)ρcos 2θ=1; π??(2)ρ=2cos?θ-?. 4??

解:(1)因为ρcos 2θ=1,所以ρcosθ-ρsinθ=1. 所以化为直角坐标方程为x-y=1.

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