发布时间 : 星期一 文章2017-2018学年高中数学选修4-4全册学案含解析人教A版99P更新完毕开始阅读
证明：取BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴， 建立如图所示的直角坐标系． 设A(－a，h)，B(－b,0)， 则D(a，h)，C(b,0)． ∴|AC|＝?b＋a?＋h， |BD|＝?a＋b?＋h. ∴|AC|＝|BD|，
即等腰梯形ABCD中，AC＝BD.
4．已知△ABC中，D为边BC的中点，求证：AB＋AC＝2(AD＋BD)． 证明：以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0,0)．
设B(a,0)，C(b，c)， 则D?
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?a＋b，c?，
?2??2
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所以AD＋BD
?a＋b?c?a－b?c＝＋＋＋ 44441222
＝(a＋b＋c)， 2又AB＋AC＝a＋b＋c， 所以AB＋AC＝2(AD＋BD).
直角坐标系中的伸缩变换 2
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求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x＋y＝1变成曲线 设出变换公式，代入方程，比较系数，得出伸缩变换．
??x′＝λ
设变换为?
?y′＝μ?
22
x′2y′29＋4
＝1.
x，λ>0，y，μ>0.
22
λxμy代入方程＋＝1，得＋＝1.
9494与x＋y＝1比较，将其变形为 ＝3，μ＝2.
??x′＝3x，
∴?
?y′＝2y.?
2
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x′2y′2
22
λ2μ2
x＋y＝1，比较系数得λ94
22
即将圆x＋y＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的
22
8
2倍，可得到椭圆
x′2y′2
9＋4
＝1.
??x′＝λ?坐标伸缩变换φ：??y′＝μ
x，λ＞0，y，μ＞0.
注意变换中的系数均为正数．在伸缩变换下，
平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程．已知变换前、后曲线方程也可求伸缩变换φ.
5．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x＋9y＝36变成曲线x′＋y′＝1.
??x′＝λ
解：设变换为?
?y′＝μ?
2
2
2
2
x，λ>0，y，μ>0，
可将其代入x′＋y′＝1，得λx＋μy＝1.将
222222
429222
4x＋9y＝36变为 x＋y＝1，
3636
12122222
即x＋y＝1，与λx＋μy＝1比较， 9411比较系数得λ＝，μ＝. 32
??
∴?1
y′＝??2y，
x′＝x，
1
3
122
即将椭圆4x＋9y＝36上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标
3
122
变为原来的，可得到圆x′＋y′＝1.
2
??x′＝2x，
6．求4x－9y＝1经过伸缩变换?
?y′＝3y?
2
2
后的图形所对应的方程．
??x′＝2x，
解：由伸缩变换?
??y′＝3y
1
x＝x′，??2得?1
y＝??3y′，
2
将其代入4x－9y＝1，
22
?1?2?1?2
得4?x′?－9?y′?＝1.
?2??3?
整理，得x′－y′＝1.
∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为x′－y′＝1.
课时跟踪检测(一)
9
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一、选择题
1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A．椭圆 B．比原来大的圆 C．比原来小的圆 D．双曲线 解析：选D 由伸缩变换的意义可得．
2．已知线段BC长为8，点A到B，C两点距离之和为10，则动点A的轨迹为( ) A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
解析：选C 由椭圆的定义可知，动点A的轨迹为一椭圆．
3．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN―→|2|MP―→|＋MN―→2NP―→＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为( )
A．y＝8x B．y＝－8x C．y＝4x D．y＝－4x
解析：选B 由题意，得MN―→＝(4,0)，MP―→＝(x＋2，y)，NP―→＝(x－2，y)，由|MN―→|2|MP―→|＋MN―→2NP―→＝0，
得4?x＋2?＋y＋4(x－2)＝0，整理，得y＝－8x.
4．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是( )
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2
2
x＝2x′??A.?1
y＝y′??3
x′＝2x??
B.?1
y′＝y?3?
??x＝2x′
C.?
?y＝3y′?
??x′＝2x D.?
?y′＝3y?
??x′＝λ
解析：选B 设?
?y′＝μ?
x，λ>0，y，μ>0，
则μy＝sin λx，
1
即y＝sin λx.
μ
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比较y＝3sin 2x与y＝sin λx，则有＝3，λ＝2.
μμ
x′＝2x，??1
∴μ＝，λ＝2.∴?1
3y′＝y.?3?
二、填空题
??x′＝2x，5．y＝cos x经过伸缩变换?
?y′＝3y?
后，曲线方程变为________．
??x′＝2x，
解析：由?
??y′＝3y，
1
x＝x′，??2得?1
y＝??3y′，
10
代入y＝cos x，
111
得y′＝cosx′，即y′＝3cosx′. 322答案：y＝3cos2
2
x′
2
2
6．把圆X＋Y＝16沿x轴方向均匀压缩为椭圆x＋＝1，则坐标变换公式是________．
16
??x＝λ
解析：设?
??y＝μ
y2
X ?λ>0?，Y ?μ>0?，
??λ
则?yY＝??μ.
2
xX＝，
2
代入X＋Y＝16得 2＋2＝1.
16λ16μ
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x2y2
∴16λ＝1,16μ＝16. 1??λ＝，4∴???μ＝1.
X??x＝，答案：?4
??y＝Y
X??x＝，
故?4??y＝Y.
7．△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则点A的轨迹方程为________． 解析：∵△ABC的周长为10，
∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10.其中|BC|＝4， 即有|AB|＋|AC|＝6＞4.
∴点A轨迹为椭圆除去B，C两点，且2a＝6,2c＝4. ∴a＝3，c＝2，b＝5.
∴点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)． 95答案：＋＝1(y≠0)
95三、解答题
8. 在同一平面直角坐标系中，将曲线x－36y－8x＋12＝0变成曲线x′－y′－4x′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．
解：x－36y－8x＋12＝0可化为?
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x2y2
x2y2
?x－4?2－9y2＝1.①
??2?
x′2－y′2－4x′＋3＝0可化为(x′－2)2－y′2＝1.②
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