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0?na?1?na?1?1?1??n?1个nn?1. 例7 limn??a?n?1a?1a?1??. ? nnn证
0?nn?1?n一
nn 1n?2n?22n?n?22n?22?1??1??.
nnn： 时，
证二： n?(nn)n?(1?nn?1)n? ?
nn(n?1)n(n?1)2 （二项式展开） 2!n?1?2 n?12???0， 因此，取N?[?2?1] ，则当n?N时就有 0?nn?1??即
附：此题请注意以下的错误做法：
n?(1?nn?1)n?1?n(nn?1)?nn?1?n?111?1????1??? nnn?n?11 （注意 1?不趋于零） 1??n3n2?3 例8：证明limn??n2?43n21212?3??证明：由于 2 （n?3） （*） n?4n2?4n3n212?3?? 因此，???0只要取?? 便有2n?4n由于（*）式是在n?3的条件下成立的，故应取N?max{3,[]}，
?3n23n2?3?? 即 lim2?3 当n?N时就有2n??n?4n?412 总结 用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键
的追求有两点，一是把隐性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份.
4 关于数列的极限的??N定义的几点说明
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（1）关于?：① ?的任意性.定义1中的正数?的作用在于衡量数列通项an与常数a的接近程度，?越小，表示接近得越好；而正数?可以任意小，说明an与常数a可以接近到任何程度；②?的暂时固定性.尽管?有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N；③?的多值性.?既是任意小的正数，那么,3?,?2等等，同
2样也是任意小的正数，因此定义1中的不等式|an?a|??中的?可用
??2,3?,?2等来代替.从而“|an?a|??”可用“|an?a|??”代替；④正由
于?是任意小正数，我们可以限定?小于一个确定的正数.
（2）关于N：① 相应性，一般地，N随?的变小而变大，因此常把N定作N(?)，来强调N是依赖于?的；?一经给定，就可以找到一个N；②N多值性. N的相应性并不意味着N是由?唯一确定的，因为对给定的?，若N?100时能使得当n?N时,有|an?a|??,则N?101或更大的数时此不等式自然成立.所以N不是唯一的.事实上，在许多场合下，最重要的是N的存在性，而不是它的值有多大.基于此，在实际使用中的N也不必限于自然数，只要N是正数即可；而且把“n?N”改为“n?N”也无妨.
（3）数列极限的几何理解：在定义1中，“当n?N时有|an?a|??”?“当n?N时有a???an?a??” ?“当n?N时有an??a??,a????U(a;?)” ?所有下标大于N的项an都落在邻域而在U(a;?)之外，数列?an?中的项至多只有N个（有限个）.U(a;?)内；
反之，任给??0，若在U(a;?)之外数列?an?中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为N，则当n?N时有an?U(a;?)，即当n?N时有
|an?a|??，由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）：
定义1? 任给??0，若在U(a;?)之外数列?an?中的项只有有限个，则称数列?an?收敛于极限a.
由此可见：1）若存在某个?0?0，使得数列?an?中有无穷多个项落在U(a;?0)之外，则?an?一定不以a为极限；2）数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关.所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响.
例1．证明?n2?和?(?1)n?都是发散数列. 例2．设lim作数列如下：xn?limyn?a，?zn?:x1,y1,x2,y2,L,xn,yn,L. 证n??n??明 limzn?a.
n??例3．设?an?为给定的数列，?bn?为对?an?增加、减少或改变有限
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项之后得到的数列.证明：数列?bn?与?an?同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等. 三、无穷小数列
在所有收敛数列中，在一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：
定义2 若liman?0，则称?an?为无穷小数列.
n??n?1?1??1??(?1)??1?如??,?2?,??,?n?都是无穷小数列.
nnn???????2?数列?an?收敛于a的充要条件：
定理2.1 数列?an?收敛于a 的充要条件是?an?a?为无穷小数列. [作业] 教材P27 3，4，5，7，8⑵.
§2 收敛数列的性质
教学内容：第二章 数列极限——§2 收敛数列的性质. 教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法. 教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部
有界性、保号性、保不等式性；
（2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限.
教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用. 教学难点：数列极限的计算. 教学方法：讲练结合. 教学程序：
引 言
上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证liman?a的
n??方法，这是极限较基本的内容，要求掌握.为了学习极限的技巧及其
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应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一步讨论. 一、收敛数列的性质
性质1（极限唯一性） 若数列{an}收敛，则它的极限唯一. 证一：假设a与b都是数列{an}的极限，则由极限定义，对???0，
?N1,N2?￥，当
n?N1时，有 an?a??； n?N2时，有 an?b??
取N?max(N1,N2)，则当n?N时有
|a?b|?|(an?b)?(an?a)|?|an?a|?|an?b|?2?
由?的任意性，上式仅当a?b时才成立.
证二：（反证）假设{an}极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为a,b
liman?a，liman?b且a?b故不妨设a?b，取??b?a?0 n??n??2由定义，?N1?￥，当n?N1时有 an?a???an?a???a?b 2 又?N2?￥，当n?N2时有 an?b???an?b???因此，当n?max(N1,N2)时有 an?唯一.
a?b 2a?b?an矛盾，因此极限值必2性质2（有界性）如果数列{an}收敛，则{an}必为有界数列.即
?M?0，使对?n有 |an|?M
an?a取??1，?N?0使得当n?N时有 an?a?1 证明：设limn??
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