发布时间 : 星期日 文章（完整word版）最新数学分析知识点最全汇总更新完毕开始阅读
最后得到p.q0q1q2?，它是一个实数，即为E的上确界. 证明：（书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设S中的元素都为非负数，则存在非负整数n，使得
1）?x?S，有x?n；
2）存在x1?S，有x?n?1；
把区间(n,n?1]10等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在n1，使得
1）??S，有；x?n.n1；
1． 2）存在x2?S，使得x2?n.n1?10再对开区间(n.n1,n.n1?1]10等分，同理存在n2，使得 1）对任何x?S，有x?n.n1n2； 12）存在x2，使x2?n.n1n2?10
继续重复此步骤，知对任何k?1,2,?，存在nk使得
11）对任何x?S，x?n.n1n2?nk?10； 2）存在xk?S，xk?n.n1n2?nk．
因此得到??n.n1n2?nk?．以下证明??infS．
（ⅰ）对任意x?S，x??；
（ⅱ）对任何???，存在x??S使??x?．
2k10
［作业］：P9 1（1），（2）； 2； 4（2）、（4）；７
§3函数概念
授课章节：第一章实数集与函数——§3 函数概念 教学目的：使学生深刻理解函数概念. 教学要求：
（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示法；
（２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.
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教学重点：函数的概念.
教学难点：初等函数复合关系的分析.
教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学. 教学程序：
引 言
关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论.
一、函数的定义
１．定义１ 设D,M?R，如果存在对应法则f，使对?x?D，存在唯一的一个数y?M与之对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作
f:D?M
x|?y .
数集D称为函数f的定义域，x所对应的y，称为f在点x的函数值，记为f(x).全体函数值的集合称为函数f的值域，记作f(D).
即f(D)??y|y?f(x),x?D?.
２．几点说明
（1）函数定义的记号中“f:D?M”表示按法则f建立D到M的函数关系，x|?y表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作
x|?f(x).习惯上称x自变量，y为因变量.
（2） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的基本要素为
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两个：定义域和对应法则.所以函数也常表示为：y?f(x),x?D. 由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则.
例如：1）f(x)?1,x?R, g(x)?1,x?R\\?0?.（不相同，对应法则相同，定义域不同）
2）?(x)?|x|,x?R, ?(x)?x2,x?R.（相同，只是对应法则
的表达形式不同）.
（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）.此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法则f来表示一个函数.即“函数y?f(x)”或“函数f”.
（4）“映射”的观点来看，函数f本质上是映射，对于a?D，f(a)称为映射f下a的象.a称为f(a)的原象.
（5）函数定义中，?x?D，只能有唯一的一个y值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个x值，可以对应多于一个y值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.
二 、函数的表示方法
1 主要方法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和图象法（图示法）.
2 可用“特殊方法”来表示的函数.
1）分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示.
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?1,x?0?例如 sgnx??0,x?0，（符号函数）
??1,x?0?（借助于sgnx可表示f(x)?|x|,即f(x)?|x|?xsgnx）. 2）用语言叙述的函数.（注意；以下函数不是分段函数）
例 １）y?[x]（取整函数）
比如： [3.5]=3, [3]=3, [-3.5]=-4. 常有 ?x??x??x??1, 即0?x??x??1.
与此有关一个的函数y?x??x?@?x?（非负小数函数）图形是一条大锯，画出图看一看.
２）狄利克雷（Dirichlet）函数
?1,当x为有理数,D(x)??
?0,当x为无理数,这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期.
３）黎曼（Riemman）函数
pp?1,当x?(p,q?N,为既约分数),??qqR(x)??q
?0,当x?0,1和(0,1)内的无理数.?三 函数的四则运算
给定两个函数f,x?D1,g,x?D2，记D?D1UD2，并设D??，定义f与g在D上的和、差、积运算如下：
F(x)?f(x)?g(x),x?DH(x)?f(x)g(x),x?D. ；G(x)?f(x)?g(x),x?D；若在D中除去使g(x)?0的值，即令Dg?D\\?xg(x)?0,x?D2???，
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