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使得当x0?x?x0??时有|f(x)?A|??, 则称数A为函???0,??(???)?0，
数f当x趋于x0时的右极限，记作
x?x0lim?f(x)?A或f(x)?A(x?x0?)或f(x0?0)?A.
x?x0?0(x0;?)，x0???x?x0，limf(x)?A或类似可给出左极限定义（U?f(x)?A(x?x0?)或f(x0?0)?A）.
注：右极限与左极限统称为单侧极限. 3．例子
例1 讨论函数f1(x)在x?0的左、右极限. 例2 讨论sgnx在x?0的左、右极限. 例3 讨论函数1?x2在?1处的单侧极限.
f(x)与limf(x),limf(x)的关系. 4．函数极限xlim?x0x?x0?x?x0?定理3.1 xlimf(x)?A?limf(x)?limf(x)?A. ?x0x?x0?x?x0?f(x)?A, ???0, 使得当证明： 必要性，???0, 由xlim?x0?x?x0??时，有f(x)?A??，特别地当0?x?x0??时，有
limf(x)?A. f(x)?A??，故x?x?000limf(x)?A. 同理当0?x0?x??时，也有f(x)?A??, 故x?x?00limf(x)?A，??1?0, 使得当0?x?x0??1充分性，???0, 由x?x?00limf(x)?A, ??2?0, 使得当0?x0?x??2时，有f(x)?A??, 又由x?x?0时，有f(x)?A??. 令??min(?1,?2), 当0?x?x0??时，有
limf(x)?A. f(x)?A??，故x?x00注：1）利用此可验证函数极限的存在，如由定理3.1知：
limf1(x)?0.还可说明某些函数极限不存在，如由例2知limsgnx不存
x?0x?0在.2）f(x0?0)，f(x0?0)，f(x0)可能毫无关系，如例2. [作业] 教材P47—48 2—7.
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§3函数极限存在条件
教学章节：第三章函数极限——§3函数极限存在条件
教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性.
教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路.
教学重点：海涅定理及柯西准则. 教学难点：海涅定理及柯西准则运用.
教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用. 教学程序：
引 言
在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过“单调有界定理”和“柯西收敛准则”.我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？这是本节的主要任务.
本节的结论只对x?x0这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的.
首先介绍一个很主要的结果——海涅(Heine)定理（归结原则）. 一、归结原则
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f(x)存在?对定理1（Heine定理）设f在U0(x0;??)内有定义，xlim?x0任何含于U0(x0;??)且以x0为极限的数列?xn?，极限limf(xn)都存在且相
n??等.
0limf(xn)?A. xn?x0，证：必要性 在U(x0)中任取序列?xn?且lim要证n??n??limf(x)?A，???0，使得当0?x?x0??时，有???0，由x?x0f(x)?A??.
对于??0，由xn?x0，?N，使得当n?N时，有0?xn?x0??， f(xn)?A. 于是当n?N时，有f(xn)?A??，即limn??充分性，如果不然，即x?x0y时，f(x)不以A为极限，则??0?0，???0，?x??U0(x0)0?x??x0??，x使得f(x?)?A??0. 令
??1(n?1,2,?)n，则?xn?U0(x0),0?xn?x0?1，使得f(xn)?A??0.对于序列{xn}，xn?x0，nf(xn)?A矛盾. xn?Uo?x0?，但f(xn)?A??0，显然与条件limn????和?xn???f(x)不存在之方法：在U0(x0)中找到两个序列?xn判断xlim?x0?)和limf(xn??)都存在，但不相等，这实f(xn都趋向于x0，两个极限limn??n??际上是充要条件，充分性的证明用本节定理就行了，必要性的证明要到第七章讲完紧性以后才能证，我们目前也只用到它的充分性.
注1 ?f(xn)?是数列，limf(xn)是数列的极限.所以这个定理把函
n??数f(x)的极限归结为数列?f(xn)?的极限问题来讨论，所以称之为“归结原则”.由此，可由数列极限的性质来推断函数极限性质.
f(x)不存在的方法，即注2从Heine定理可以得到一个说明xlim?x0“若可找到一个数列?xn?，limxn?x0，使得limf(xn)不存在；”或“找
n??n??f(xn?),limf(xn??)都存在但到两个都以x0为极限的数列xn?,xn??，使limn??n??????f(x)不存在. 不相等，则xlim?x0例1证明limsin不存在. x?01x 67
1???证明：令xn???0，xn2?nsin11， ?0sin?0, 当然趋于0，
?(2n?1)?xn21?1,当然趋于1，故sin1当x?0时没极限. ??xnx注3．对于x?x0?,x?x0?,x???,x???这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式.如当x?x0?时有：
定理2设函数f在x0的某空心邻域U?0(x0)内有定义，limf(x)?A
x?x0?0(x0)，有limf(xn)?A. ?对任何以x0为极限的递减数列?xn??U?n??二、单调有界定理
相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理.现以x?x0?这种类型为例叙述如下:
定理3 设f为定义有U?0(x0)上的单调有界函数，则右极限limf(x)x?x0?存在.
注：定理3可更具体地叙述如下：f为定义在U?0(x0)上的函数，若 （1）f在U?0(x0)上递增有下界，则limf(x)存在，且
x?x0?x?x0?limf(x)?inf0x?U?(x0)f(x)；
x?x0?（2）f在U?0(x0)上递减有上界，则limf(x)存在，且
x?x0?limf(x)?supf(x).
0x?U?(x0)更一般的有：
limf(x)存在定理 设f(x)在U0?(x0)上定义，且f(x)单调上升，则x?x?00f(x). 且等于 x?supU(x)?00f(x), 当集合 {f(x)|x?U?(x)}有上界时, 证明： 令A?x?sup00U(x)?00A???，当它无上界时，A???.
1）A???
????0, 由上确界定义，?x??U0(x0),使得f(x?)?A??,取
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