发布时间 : 星期五 文章(完整word版)最新数学分析知识点最全汇总更新完毕开始阅读
xn?1?1??n?n3?3n2?3n?2??3??1?1??1. ? xn↗. ??2?2?xn?n?1??(n?1)?n?3n?3n?11?为证{xn}上方有界, 考虑数列 yn???1???n?n?1. 可类证yn↘. 事实
上,
ynyn?1
n?1?1?1??n?1?1???1??2??1n?1n?2n?1n?n?????? ?? n?22??11n?2?n?2n???1??1?1???1???n?1?n?1??n?1?n?1n?1?1? ??1?2?n?2?n?2n?n?1?n?1?n?1??1?2? (此处利用了Bernoullin?2?n?2n?不等式 )
n3?4n2?4n?1?1, ? yn↘. ?32n?4n?4n显然有 xn?yn. ? ?n, 有 xn?yn???y1?4. 即数列{yn}有上界.
证法三 ( 利用均值不等式 ) 在均值不等式
n1na1a2?an??ai, (ai?0) 中, 令
ni?1a1?a2???an?1?1?n?11, an?1, 就有 n?1nnxn?11???n?1??n?1??1?1??1??1??1 ? ?(n?1)?1???1??1??n?1???nxn,
n?n?n?1???n? ? xn?1?xn, 即 xn↗.
令 a1?a2???an?1?1?
1, an?1, 可仿上证得 n?3时n?153
n???1???( n?1时无意义, n?2时诸ai=0, 不能用均值不等式. ) ??1???↗,
???n???当n?2时, 由
1??1?111? 1??. ??1???1???1?2?1, ?n??n?nn1?1n1?1?1?. ? ? 由 ?1????1??n?n??n??1?1????n?? xn?1?1??1???2?2nn↗ ? 1n?1??1???n?↘.
< 4.
注: 以上证法二和证法三可参阅《数学通报》1980.№4 P22. 证法四 ( 仍利用均值不等式 )
n个???????????n1??1??1??1?1?? ????1???1????1???n??n??n??n??1<
??1???n?1?n??1??? ???n?1??????n?1?n?2?????n?1?n?11????1???n?1?n?1.? xn?xn?1, 即 xn↗.
有界性证法可参阅上述各证法.
注: 证法四可参阅《数学教学研究》1991.№1 马德尧文 “均值不等式妙用两则”.
证法五 先证明：对 ?0?a?b和正整数n，有不等式
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bn?1?an?1?(n?1)bn.
b?a事实上，
bn?1?an?1(b?a)(bn?bn?1a???ban?1?an??bn?bn?1a???ban?1?an<
b?ab?a(n?1)bn.
该不等式又可变形为
bn?(n?1)a?nb??an?1, ( 0?a?b, n为正整数 ) 在此不等式中, 取 a?1?n11, b?1?, 则有 0?a?b, 就有 n?1nn?11?1?? ??1????1??nn?1????, ? xn↗.
11?1取 a?1, b?1?, 又有 ??1????1 对?n成立，
2n?2n?2n1??? ?1???2, ? ?2n?1????1???2n?2nnx2n?4. 又由 x2n?1?x2n, ? xn?4.
注: 这一证法可参阅《The American Mathematical Monthly》 1974. Vol 81. №9 P10—11
第三章 函数极限
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引 言
在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”.二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例.
通过数列极限的学习.应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”.例如，数列?an?这种变量即是研究当n???时，?an?的变化趋势.
我们知道，从函数角度看，数列?an?可视为一种特殊的函数f，其定义域为N?，值域是?an?，即
f:N??R(n?an); 或 f(n)?an,n?N?或f(n)?an.
研究数列?an?的极限，即是研究当自变量n???时，函数f(n)变化趋势.
此处函数f(n)的自变量n只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即n???.但是，如果代之正整数变量n而考虑一般的变量为x?R，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x可能的变化趋势是否了仅限于x???一种呢？ 为此，考虑下列函数:
?1,x?0; f(x)??0,x?0.?类似于数列，可考虑自变量x???时，f(x)的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量x???时，f(x)的变化趋势；还可考虑自变量
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