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困难，但由于当n充分大时，an能充分接近其极限a，故可用an作为a的近似值.
本节将重点讨论极限的存在性问题.
为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断.
从收敛数列的有界性可知：若?an?收敛，则?an?为有界数列；但反之不一定对，即?an?有界不足以保证?an?收敛.例如?(?1)n?.但直观看来，若?an?有界，又?an?随n的增大（减少）而增大（减少），它就有可能与其上界（或下界）非常接近，从而有可能存在极限（或收敛）.
为了说明这一点，先给出具有上述特征的数列一个名称——单调数列. 一、单调数列
定义 若数列?an?的各项满足不等式an?an?1(a?an?1)，则称?an?为递增（递减）数列.递增和递减数列统称为单调数列．
?(?1)n??1?2例如：??为递减数列；?n?为递增数列；??不是单调数列.
?n??n?二、单调有界定理
〔问题〕 （1）单调数列一定收敛吗？；（2）收敛数列一定单调吗？ 一个数列?an?，如果仅是单调的或有界的，不足以保证其收敛，但若既单调又有界，就可以了.此即下面的极限存在的判断方法.
定理（单调有界定理） 在实数系中，有界且单调数列必有极限.
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几何解释：单调数列{an}只可能向一个方向移动，故仅有两种可能：（1）点an沿数轴移向无穷远；（2）an无限趋于某一个定点A，即
an?A(n??).
证明：不妨设{an}单调增加有上界，把{an}看作集合，有确界原理，sup{an}??存在
即：（1）?n，an??；（2）???0，?n0?N使an????
0由于{an}单调增加，故当n?n0时有????an?an??????
0an?? # 即当n?n0时 |an??|??亦即limn??例
1：a?0，证明数列a1?a，a2?a?a，
a3?a?a?a，……，
an?a?a?L?a，……收敛，并求其极限.
证明：从该数列的构造，显见它是单调增加的，下面来证它是有界的.
易见an?a?0，且a2?a?a1，a3?a?a2，…，an?a?an?1，…
2从而 an?a?an?1?a?an两端除以an得 an?1?aan
?n，an?a?a?an?1?a故{an}有界即得极限存在
2a?la?a?an?1两边取极限，则有设lim，对等式nnn??2liman?lim(a?an?1)? n??n?? 46
liman?1?a?l2?l?a?l?1?1?4a n??21?1?4a即为所求极限 2因{an}为正数列，故l?0，因此取l?nklim例2：求n??n（k为一定数，a?1）
akcn?11n?1k11kn?()?(1?)a?1，解：记 cn?n，则cn?0且 c则?N，ananan当n?N时 (1?)k?1，
故n?N后，{cn}单调递减，又有 cn?0?极限一定存在，设为A 由 cn?1?111(1?)kcn两边取极限得 A?A（a?1）?A?0 ana111????, ( ??2 ). 证明数列{an}收敛. ???23n1a1n例3 设 an?1?例4 a?0, x1?0. xn?1逼近法, 亦即迭代法 ).
1?a????xn??. 求limxn. ( 计算a的逐次
n??2?xn??1?a?a?x??x??a. ? {xn}有下解：由均值不等式, 有 xn?1??n?n?2?xn?xn界;
注
意
到
对
?n,有
xn?a, 有
xn?11?a?1?a????1. ? xn↘, ????1?2???1?xn2?xn?2?( a )2??limxn?a.
n??三、柯西收敛准则 1、引言
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单调有界定理只是数列收敛的充分条件，下面给出在实数集中数列收敛的充分必要条件——柯西收敛准则. 2、
Cauchy收敛准则
定理（Ｃauchy收敛准则）数列?an?收敛的充分必要条件是：对任给的??0，存在正整数N，使得当n,m?N时有|an?am|??.
an?a，证明：“?” {an}收敛，则存在极限，设lim则???0，?N，n??当
n?N时有
|an?a|??/2?当
n,m?N时有
|an?am|?|am?a|?|an?a|??
“?”先证有界性，取??1，则?N，n,m?N?|an?am|?1 特别地，n?N时 |an?aN?1|?1?|an|?|aN?1|?1 设 M?max{|a1|,|a2|,?,|aN|,|aN?1|?1}，则?n，|an|?M
an?a 再由致密性定理知，{an}有收敛子列{an}，设limk??kk???0，?N1，n,m?N1?|an?am|??/2 ?K，k?K?|ank?a|??/2
取N?max(K,N1)，当n?N时有nN?1?N?1?N
? |an?a|?|an?anan?a 故limk??Cauchy列、基本列（满足Cauchy收敛准则的数列）
Cauchy收敛准则的另一表示形式：???0，?N，当n?N时，对
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N?1|?|anN?1?a|??/2??/2??