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即 |an|?|a|?|an?a|?1?|an|?|a|?1
令 M?max(1?|a|,|a1|,|a2|,?,|aN|)
则有对?n |an|?M即数列{an}有界
注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如{(?1)n}
②在证明时必须分清何时用取定?，何时用任给?.上面定理
3.2证明中必须用取定?，不能用任给?，否则N随?在变，找到的M也随?在变，界M的意义就不明确了.
an?a，liman?b， 性质3（保序性）设limn??n?? （1） 若a?b，则存在N使得当n?N时有an?bn
（2） 若存在N，当n?N时有an?bn，则a?b（不等式性质） 证明：（1）取??a?ba?b?0，则存在N1，当n?N1时 |an?a|? 22a?ba?b? 22a?ba?ba?b?bn?b?? 222从而an?a?又存在N2，当n?N2时 |bn?b|?? 当n?max(N1,N2)时 bn?a?b?an 2（2）（反证）如a?b，则由⑴知必?N当n?N时an?bn这与已知矛盾
an?a?b则?N，当n?N时an?b.特别地，推论（保号性）若limn??an?a?0，则?N，当n?N时an与a同号. 若limn?? 37
思考：如把上述定理中的an?bn换成an?bn，能否把结论改成
liman?limbn？
n??n??an?a，则liman?a 例：设an?0（n?1,2,?），若limn??n??证明：由保序性定理可得 a?0
2若a?0，则???0，?N1，当n?N1时有an???an??即
liman?0?a n??若a?0，则???0，?N2，当n?N2时有 |an?a|?a?
? |an?a|?|an?a|an?a?|an?a|a??
数列较为复杂，如何求极限？
{bn}都收敛，{an?bn}、性质4（四则运算法则）若{an}、则{an?bn}、
(an?bn)?liman?limbn，limanbn?limanlimbn特{anbn}也都收敛，且 limn??n??n??n??n??n??can?climan，c为常数如再有limbn?0则{别地，limn??n??n??an}也收敛，且 bnananlimn??lim? n??blimbnnn??证明：由于an?bn?an?(?1)bn，倒数运算的结论即可.
an1?an?，故只须证关于和积与bnbnlimbn?b，an?a，?N1，???0，设lim当n?N1时 an?a??；n??n???N2，当n?N2时 bn?b??
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取N?max(N1,N2)，则当n?N时上两式同时成立. （1） |anbn?ab|?|(an?a)bn?a(bn?b)|?|an?a||bn|?|a||bn?b|
由收敛数列的有界性，?M?0，对?n有|bn|?M 故当n?N时，有 |anbn?ab|?(M?|a|)?
anbn?ab 由?的任意性知limn??bn?b?0 （2） limn??由保号性，?N0?0及k?0，对?n?N0有|bn|?k（如可令
k?|b|） 2取
|N?max(N0,N2)，则当
n?N时有
11|bn?b||bn?b|??|??? bnb|bnb|k|b|k|b|11? n??bbn由?的任意性得 lim用归纳法，可得有限个序列的四则运算： lim?xn??k?1Nk?1N(k)n(k)， ??limxnk?1Nn??N(k)(k) lim?xn . ??limxnn??n??k?1但将上述N换成?，一般不成立.事实上?或?本身也是一种
k?1??极限，两种极限交换次序是个非常敏感的话题，是高等分析中心课题，
一般都不能交换，在一定条件下才能交换，具体什么条件，到后面我们会系统研究这个问题.
性质5（两边夹定理或迫敛性）设有三个数列{an}、{bn}、{cn}，如?N，当n?N时有
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k?1an?cn?bn，且lima?limb?l，则limc?l n??nn??nn??na?limb?l????0，?N1,N2 证明：limn??nn??n当n?N1时， l???an?l??；当n?N2时， l???bn?l??
取N0?max(N1,N2,N)，则当n?N0时以上两式与已知条件中的不等式同时成立，故有n?N0时 l???an?cn?bn?l???|cn?l|??即
limcn?l n??该定理不仅提供了一个判定数列收敛的方法，而且也给出了一个求极限的方法.
bn?a，推论：若?N，当n?N时有a?cn?bn（或bn?cn?a）且limn??cn?a 则limn??na?0（a?0） 例：求证limn??n!证明：?k?￥使得k?a，从而当n?k时有
anaaaaaaka??????????? 0?n!12kk?1nk!nakaaklimalim?0由推论即可得结论 由于n????n??nk!nk!例：设a1，a2，…，am是m个正数，证明
limn??nnna1n?a2??am?max(a1,a2,?,am)
nn??am?nmA 证明：设A?max(a1,a2,?am)，则 A?na1n?a2 40