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第一章实数集与函数
§1实数
授课章节：第一章实数集与函数——§1实数 教学目的：使学生掌握实数的基本性质． 教学重点：
(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性； (2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具） 教学难点：实数集的概念及其应用． 教学方法：讲授．（部分内容自学） 教学程序：
引 言
上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．
[问题]为什么从“实数”开始．
答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．
一、实数及其性质
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1、实数
q?有理数:任何有理数都可以用分数形式(p,q为整数且q?0)表示，?p? ?也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.?? ?无理数:用无限十进不循环小数表示.R??x|x为实数?--全体实数的集合．
[问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定： 对于正有限小数x?a0.a1a2Lan,其中0?ai?9,i?1,2,L,n,an?0,a0为非负整数，记x?a0.a1Lan?1(an?1)9999L；对于正整数x?a0,则记x?(a0?1).9999L；对于负有限小数（包括负整数）y，则先将?y表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．0表示为 0＝0.0000L 例： 2.001?2.0009999L；
3?2.9999L；?2.001??2.009999L；?3??2.9999L
利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？
2、两实数大小的比较
1）定义1给定两个非负实数x?a0.a1LanL，y?b0.b1LbnL. 其中
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a0,b0为非负整数，ak,bk(k?1,2,L)为整数，0?ak?9,0?bk?9．若有ak?bk,k?0,1,2,L，则称x与y相等，记为x?y；若a0?b0或存在非负
整数l，使得ak?bk,k?0,1,2,L,l，而al?1?bl?1，则称x大于y或y小于x，分别记为x?y或y?x．对于负实数x、y，若按上述规定分别有?x??y或?x??y，则分别称为x?y与x?y（或y?x）．
规定：任何非负实数大于任何负实数． 2）
实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．
定义2（不足近似与过剩近似）：x?a0.a1LanL为非负实数，称有理数xn?a0.a1Lan为实数x的n位不足近似；xn?xn?位过剩近似，n?0,1,2,L.
对于负实数x??a0.a1LanL，其n位不足近似xn??a0.a1Lan?位过剩近似xn??a0.a1Lan.
注：实数x的不足近似xn当n增大时不减，即有x0?x1?x2?L； 过剩近似xn当n增大时不增，即有x0?x1?x2?L．
命题：记x?a0.a1LanL，y?b0.b1LbnL为两个实数，则x?y的等价条件是：存在非负整数n，使xn?yn（其中xn为x的n位不足近似，． yn为y的n位过剩近似）
命题应用
例1．设x,y为实数，x?y，证明存在有理数r，满足x?r?y． 证明：由x?y，知：存在非负整数n，使得xn?yn．令r?则r为有理数，且
x?xn?r?yn?y．即x?r?y．
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1称为实数x的nn101n；10n1xn?yn，2??3、实数常用性质（详见附录Ⅱ．P289?P302）．
1）封闭性（实数集R对?,?,?,?）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．
2）有序性：?a,b?R，关系a?b,a?b,a?b，三者必居其一，也只居其一.
3）传递性：?a，b，c?R，若a?b,b?c，则a?c． 4）阿基米德性：?a,b?R,b?a?0??n?N使得na?b． 5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．
6）一一对应关系：实数集R与数轴上的点有着一一对应关系． 例2．设?a,b?R，证明：若对任何正数?，有a?b??，则a?b．
（提示：反证法．利用“有序性”，取??a?b）
二、绝对值与不等式
1、绝对值的定义
实数a的绝对值的定义为|a|??2、几何意义
从数轴看，数a的绝对值|a|就是点a到原点的距离．|x?a|表示就是数轴上点x与a之间的距离． 3、性质
1）|a|?|?a|?0;|a|?0?a?0（非负性）； 2）?|a|?a?|a|；
3）|a|?h??h?a?h，|a|?h??h?a?h.(h?0)；
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?a,a?0．
??aa?0