发布时间 : 星期二 文章安徽省安庆一中2015届高三上学期1月模拟数学（文）试卷更新完毕开始阅读
9．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的外接球体积为
（ ） A．
B．
C．
D．
考点： 球内接多面体；球的体积和表面积． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： 判断几何体的形状，利用三视图数据，求出几何体的外接球的半径，然后求解体积． 解答： 解：易知该几何体为正三棱柱，设该几何体的外接球半径为R，由勾股定理可知R=
2
=，故R=，所以该几何体的外接球的体积为
V===．
故选：D．
点评： 本题考查几何体的外接球的体积的求法，求出外接球的半径是解题的关键．
10．已知f（x）=x+sin（ ）
2
，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是
A． B． C． D．
考点： 函数的单调性与导数的关系；函数的图象． 专题： 导数的概念及应用． 分析： 先化简f（x）=x+sin
2
=x+cosx，再求其导数，得出导函数是奇函数，
，
）上单调
2
排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在（﹣递减，从而排除C，即可得出正确答案． 解答： 解：由f（x）=x+sin
2
=x+cosx，
2
∴f′（x）=x﹣sinx，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D． 又f″（x）=﹣cosx，当﹣
＜x＜
时，cosx＞，∴f″（x）＜0，
故函数y=f′（x）在区间（﹣，）上单调递减，故排除C．
故选：A．
点评： 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为，则该双曲线的离心率
为 ．
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 利用双曲线的渐近线求出a、b关系，通过双曲线的几何量a、b、c的关系，求出双曲线的离心率．
解答： 解：由渐近线的斜率为，可得故离心率为e==故答案为：
．
．
，即a=2b，故a=4b=4（a﹣c），故5a=4c，
2
2
2
2
2
2
点评： 本题考查双曲线的离心率的求法，双曲线的简单性质的应用．
12．某校高一、高二、高三分别有3、2、1人获得校演讲比赛优胜奖，学校决定在这6名获奖学生中随机抽取2名学生进行培训参加县里演讲比赛，则高二至少有一名学生参加县里测试的概率为
．
考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 专题： 概率与统计．
分析： 设高一的3位同学为A1，A2，A3，高二的2位同学为B1，B2，高三的1位同学为C1，列举可得总的基本事件有15个，符合条件的有9个，由概率公式可得．
解答： 解：设高一的3位同学为A1，A2，A3，高二的2位同学为B1，B2，高三的1位同学为C1，
则从六位同学中抽两位同学有15种可能，列举如下： （A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2）， （A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2）， （A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1）， （B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），
其中高二的2位同学至少一位同学参加县里测试的有： （A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2）， （A3，B1），（B1，B2），（A3，B2），（B1，C1），（B2，C1）9种可能．
∴高二至少有一名学生参加县里比赛的概率为：故答案为：
=
点评： 本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属基础题．
13．等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若
考点： 等差数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： 设公差为d，利用等差数列的前n项和公式化简
，得到a1=﹣2d，即a3=0，利用
=﹣，则
= 0 ．
等差数列的性质化简即可．
解答： 解：设等差数列{an}的公差为d， 由
=
=﹣得，
=﹣1，所以a1=﹣2d，即a3=0，
所以===0，
故答案为：0．
点评： 本题考查等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质的灵活应用，属于中档题．
14．已知函数f（x）=1，4） ．
考点： 分段函数的应用． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 运用解析式转化不等式为16+12a＞4a，球即可． 解答： 解：∵函数f（x）=
，
2
，若f（f（1））＞4a则实数a的取值范围是 （﹣
2
∴f（1）=3+1=4，f（f（1））=f（4）=16+12a， 若f（f（1））＞4a，则16+12a＞4a，
2
即a﹣3a﹣4＜0，解得﹣1＜a＜4． 故答案为：（﹣1，4）．
2
2
点评： 本题考查了分段函数的运用，不等式的求解即可，属于中档题．
15．在△ABC中，D为BC边上的中点，Po是边AB上的一个定点，PoB=AB，且对于AB上任一点P，恒有号）．
①当P与A，B不重合时，②
=
﹣
； |＜|
|； +
与
共线；
，则下列结论正确的是 ① （填上所有正确命题的序
③存在点P，使|④
=0；
⑤AC=AB．
考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 计算题；平面向量及应用．
分析： 以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0），A（﹣2，0），B（2，0），P0（1，0），D（
，），然后由题意可写出结合
向量的数量积的坐标表示可得关于x的二次不等式，结合二次不等式的知识可求a=0，进而可判断⑤；由向量的中点表示，即可判断①； 运用数列的坐标表示，求出求出|
|，|
，向量的模的公式，求得
﹣
即可判断②；
，即可判
|，即可判断③；运用向量的数量积的坐标公式，求出
断④．
解答： 解：以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系 设AB=4，C（a，b），P（x，0）（﹣2＜x＜2）， 则BP0=1，A（﹣2，0），B（2，0），P0（1，0），D（∴∵恒有
2
，），
=（a﹣1，b）
=（1，0），=（2﹣x，0），=（a﹣x，b），
，∴（2﹣x）（a﹣x）≥a﹣1恒成立，
整理可得x﹣（a+2）x+a+1≥0恒成立，
2
令f（x）=x﹣（a+2）x+a+1， 当当
＜﹣2，必有f（﹣2）≥0，无解； ＞2，必有f（2）≥0，无解；