发布时间 : 星期六 文章2019-2020学年河南省商丘市高考数学二模试卷(理科)(有答案)更新完毕开始阅读
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∵y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）
∴==1
∴直线AE与x轴交于定点（1，0）
21．已知直线y=x+b与函数f（x）=lnx的图象交于两个不同的点A，B，其横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2 （Ⅰ）求b的取值范围；
（Ⅱ）当x2≥2时，证明x1?x22＜2．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）由题意可得x﹣lnx+b=0有两个不同的实根，设g（x）=x﹣lnx+b，求出导数，求得单调区间，可得最小值，即可得到b的范围；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得0＜x1＜1，x2＞1，g（x1）=g（x2）=0，作差g（x1）﹣g（
），化简可得x2﹣3lnx2
﹣+ln2，令h（t）=t﹣
﹣3lnt+ln2，求出导数，判断符号，得到单调性，可得当x2≥2时，g（x1）
﹣g（
）＞0，即g（x1）＞g（
），由g（x）在（0，1）递减，即可得证．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得x﹣lnx+b=0有两个不同的实根， 设g（x）=x﹣lnx+b，x＞0，g′（x）=1﹣， 当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减； 当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增． 可得g（x）在x=1处取得最小值b+1，
当b＜﹣1时，b=lnx﹣x在（0，1）和（1，+∞）各有一个不同的实根， 则b的范围是（﹣∞，﹣1）；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得0＜x1＜1，x2＞1，g（x1）=g（x2）=0， g（x1）﹣g（
）=（x1﹣lnx1+b）﹣（
﹣ln
+b）
=（x2﹣lnx2+b）﹣（
﹣ln
+b）=x2﹣3lnx2﹣
+ln2，
令h（t）=t﹣﹣3lnt+ln2，则h′（t）=1﹣+=，
当t≥2时，h′（t）≥0，h（t）递增，
.
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即有h（t）≥h（2）=﹣2ln2＞0，
当x2≥2时，g（x1）﹣g（）＞0，即g（x1）＞g（
），
又g（x）在（0，1）递减，0＜x1＜1，0＜
＜1，
即有x1＜
，可得x1?x22＜2．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，∠ACB平分线DC交AE于点F，交AB于D点． （Ⅰ）求∠ADF的度数； （Ⅱ）若AB=AC，求AC：BC．
【考点】相似三角形的判定；相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明．
【分析】（I）根据AC为圆O的切线，结合弦切角定理，我们易得∠B=∠EAC，结合DC是∠ACB的平分线，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，我们易得∠ADF=∠AFD，进而结合直径所对的圆周角为直角，求出∠ADF的度数；
（II）若AB=AC，结合（1）的结论，我们易得∠ACB=30°，根据顶角为120°的等腰三角形三边之比为：1：1：
，易得答案．
【解答】解：（I）∵AC为圆O的切线， ∴∠B=∠EAC
又知DC是∠ACB的平分线， ∴∠ACD=∠DCB
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD 即∠ADF=∠AFD
又因为BE为圆O的直径， ∴∠DAE=90° ∴
（II）∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB， ∴△ACE∽△ABC
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∴
又∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB=30°， ∴在RT△ABE中，
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣（1）求圆C的直角坐标方程；
）．
（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣【考点】直线的参数方程；参数方程化成普通方程．
）的公共点，求x+y的取值范围．
【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆C的直角坐标方程；
（2）将代入z=x+y得z=﹣t，又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，可得结论．
【解答】解：（1）因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣所以ρ2=4ρ（
sinθ﹣cosθ），
y=0．…
），
所以圆C的直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣2（2）设z=
x+y
由圆C的方程x2+y2+2x﹣2所以圆C的圆心是（﹣1，
y=0，可得（x+1）2+（y﹣），半径是2
）2=4
将代入z=x+y得z=﹣t …
又直线l过C（﹣1，由题意有：﹣2≤t≤2 所以﹣2≤t≤2 即
），圆C的半径是2，
x+y的取值范围是[﹣2，2]．…
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[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣a|+4x（a＞0）
（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；
（Ⅱ）若x∈R时，恒有f（2x）≥7x+a2﹣3，求实数a的取值范围． 【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（I）当a=2时，不等式f（x）≥2x+1即|x﹣2|≥﹣2x+1，对x分类讨论解出即可得出．
（II）f（2x）≥7x+a2﹣3，化为：f（2x）﹣7x≥a2﹣3，令g（x）=f（2x）﹣7x=|2x﹣a|+x=
，
利用函数的单调性可得：当x=时，g（x）有最小值，g（x）min=3，解出即可得出．
【解答】解：（I）当a=2时，不等式f（x）≥2x+1即|x﹣2|≥﹣2x+1，∴解得{x|x≥﹣1}．
=．若命题成立，可得：﹣
，或，
（II）f（2x）≥7x+a2﹣3，化为：f（2x）﹣7x≥a2﹣3，令g（x）=f（2x）﹣7x=|2x﹣a|+x=
，
．∵x∈时，g（x）单调递减；x∈
=．
时，g（x）单调递增．
∴当x=时，g（x）有最小值，g（x）min=若命题成立，可得：
﹣3，解得a∈（0，2）．
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