发布时间 : 星期一 文章2019-2020学年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）（有答案）更新完毕开始阅读
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=3[
﹣n?（）n+1]，
化简可得Tn=6（1﹣
）．
18．近年来我国电子商务行业迎来篷布发张的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（Ⅰ）完成商品和服务评价的2×2列联表，并说明是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X．
①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X的数学期望和方差． 参考数据及公式如下： P（K2≥k） k （K2=
0.15
0.10
0.05 3.841
0.025 5.024
0.010 6.635
0.005 7.879
0.001 10.828
2.072 2.706
，其中n=a+b+c+d）
【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（Ⅰ）由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表，代入公式求得k2的值，对应数表得答案； （Ⅱ）①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，X～B（5，0.4）．求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）； ②利用二项分布的数学期望和方差求X的数学期望和方差． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表：
对商品好评 对商品不满意 合计 得K2=
对服务好评 80 70 150
对服务不满意 40 10 50
合计 120 80 200
≈11.111＞10.828，
可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；
①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，X～B（5，0.4）．
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P（X=0）=0.65；P（X=1）=C51?0.4?0.64；P（X=2）=C52?0.42?0.63；P（X=3）=C53?0.43?0.62； P（X=4）=C54?0.44?0.6；P（X=5）=0.45， ②X的分布列 X P
0 0.65
1
2
3
4
5
C51?0.4?0.64 C52?0.42?0.63 C53?0.43?0.62 C54?0.44?0.6 0.45
EX=5×0.4=2，DX=5×0.4×0.6=1.2．
19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB=2BC=4，BF=CF=AE=DE，EF=2，EF∥AB，AF⊥CF． （Ⅰ）若G为FC的中点，证明：AF∥平面BDG； （Ⅱ）求平面ABF与平面BCF夹角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）若G为FC的中点，根据线面平行的判定定理证明OG∥AF即可证明：AF∥平面BDG； （Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面ABF与平面BCF夹角的余弦值 【解答】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，点G为FC的中点， ∴OG∥AF，
∵AF?平面BDG，OG?平面BDC， ∴AF∥平面BDG．
解：（Ⅱ）取AD的中点M，BC的中点Q，连接MQ， 则MQ∥AB∥EF， ∴M，Q，F，E共面． 作FP⊥MQ于P，EN⊥MQ于N， 则EN∥FP且EN=FP，连接EM，FQ ∵AE=DE=BF=CF，AD=BC， ∴△ADE≌△BCF，∴EM=FQ ∴△ENM≌△FPQ，∴MN=PQ=1， ∵BF=CF，Q为BC的中点，∴BC⊥FQ 又BC⊥MQ，FQ∩MQ=Q，
∴BC⊥平面MQEF，∴PF⊥BC，∴PF⊥平面ABCD
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以P原点，PM为x轴，PF为z轴建立空间直角坐标系 则A（3，1，0），B（﹣1，1，0），C（﹣1，﹣1，0）， 设F（0，0，h），则∵AF⊥CF，∴
?
=（﹣3，﹣1，h），
=（1，1，h），
=（﹣3，﹣1，h）?（1，1，h）=﹣3﹣1+h2=0，解得h=2，
=（﹣3，﹣1，2），
=（1，﹣1，2），
设平面ABF的法向量为=（x，y，z），由
得
，
令 z=1，则x=0，y=2，即=（0，2，1）， 同理平面BCF的一个法向量为=（﹣2，0，1）， ∴
=
=
=．
∴平面ABF与平面BCF夹角的余弦值为．
20．已知椭圆
的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线
相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程； （2）求
的取值范围；
（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点． 【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程． 【分析】（1）由题意知，
，利用点到直线的距离公式可求b，结合a2=b2+c2可求a，即可求解
（2）由题意设直线l的方程为y=k（x﹣4），联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B （x2，y2），根据方程的根与系数关系求出x1+x2，x1x2，由△＞0可求k的范围，然后代入=x1x2+y1y2=结合k的范围可求
的范围
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=中即可得关于k的方程，
.
（3）由B，E关于x轴对称可得E（x2，﹣y2），写出AE的方程，令y=0，结合（2）可求 【解答】（1）解：由题意知，又a2=b2+c2 ∴a=2，b=
，
即b=
故椭圆的方程为
（2）解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4）
由
可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0
设A（x1，y1），B （x2，y2），则△=322k4﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0 ∴
∴x1+x2=∴==
，x1x2==x1x2+y1y2=
①
=∵∴
∴∴
）
（3）证明：∵B，E关于x轴对称 ∴可设E（x2，﹣y2） ∴直线AE的方程为
令y=0可得x=
.