发布时间 : 星期四 文章2019年河南省郑州市高考数学一模试卷更新完毕开始阅读
15．（5分）《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，若《沁园春?长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐?六盘山排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春?长沙》与《清平乐?六盘山》不相邻且均不排在最后，则六场的排法有 144 种．（用数字作答）． 【解答】解：《沁园春?长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐?六盘山》， 分别记为A，B，C，D，E，F，
由已知有B排在D的前面，A与F不相邻且不排在最后． 第一步：在B，C，D，E中选一个排在最后，共第二步：将剩余五个节目按A与F不相邻排序，共
＝4（种）选法
＝72（种）排法，
＝2即可，
第三步：在前两步中B排在D的前面与后面机会相等，则B排在D的前面，只需除以即六场的排法有4×72÷2＝144（种） 故答案为：144．
16．（5分）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则对函数y＝f（x）有下列判断：①函数y＝f（x）是偶函数；②对任意的x∈R，都有f（x+2）＝（x﹣2）③函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递减；④函数y＝f（x）的值域是[0，1]；⑤f（x）dx＝
．其中判断正确的序号是 ①②⑤ ．
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【解答】解：当﹣2≤x≤﹣1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆， 当﹣1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为
的圆，
当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆， 当3≤x≤4时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆， ∴函数的周期是4． 因此最终构成图象如下：
①，根据图象的对称性可知函数y＝f（x）是偶函数，故①正确； ②，由图象即分析可知函数的周期是4．
即f（x+4）＝f（x），即f（x+2）＝f（x﹣2），故②正确； ③，函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递增， 故③错误；
④，由图象可得f（x）的值域为[0，⑤，根据积分的几何意义可知故⑤正确．
故答案为：①②⑤．
]，故④错误；
）+×1×1+π×1＝+
2
2
f（x）dx＝π?（，
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个考生都必须作答第223题为选考题，考生根据要求作答本小题满分60分
17．（12分）已知数列{an}为等比数列，首项a1＝4，数列{bn}满足bn＝log2an，且b1+b2+b3＝12． （I）求数列{an}的通项公式 （Ⅱ）令cn＝
+an，求数列{cn}的前n项和Sn．
【解答】解：（I）数列{an}为等比数列，首项a1＝4，公比设为q， 数列{bn}满足bn＝log2an，且b1+b2+b3＝12， 即有log2a1+log2a2+log2a3＝12，
- 18 - log2（a1a2a3）＝12，即a2＝2， 即有a2＝16，q＝4， 则an＝4；
（Ⅱ）bn＝log2an＝log24＝2n， cn＝
+an＝
+4＝﹣
n
n
n
3
12
+4，
n
前n项和Sn＝（1﹣+﹣+…+﹣
）+（4+16+…+4）
n
＝1﹣+
＝+．
18．（12分）已知四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，E、M分别是BC、PD上的中点，直线EM与平面PAD所成角的正弦值为
，点F在PC上移动．
（Ⅰ）证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面PAD． （Ⅱ）求点F恰为PC的中点时，二面角C﹣AF﹣E的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD， E、M分别是BC、PD上的中点， ∴AE⊥PA，AE⊥AD，
∵PA∩AD＝A，∴AE⊥平面PAD， ∵点F在PC上移动，∴AE?平面AEF，
∴无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面PAD． 解：（Ⅱ）直线EM与平面PAD所成角的正弦值为
，点F恰为PC的中点时，
以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
- 19 - 设AB＝2，AP＝x，则E（＝（
，0，0），M（0，1，），
），平面PAD的法向量＝（1，0，0），
∴|cos＜＞|＝＝＝，
解得x＝AP＝2， C（
，1，0），A（0，0，0），P（0，0，2），E（
），
＝（
），
＝（
，0，0），F（
），
），
＝（
设平面ACF的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，﹣，0），
设平面AEF的法向量＝（x，y，z），
则，取y＝2，得＝（0，2，﹣1），
设二面角C﹣AF﹣E的平面角为θ， 则cosθ＝
＝
＝
．
∴二面角C﹣AF﹣E的余弦值为．
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