发布时间 : 星期四 文章浙江省2017—2019年中考数学真题汇编专题11：圆(解析卷)更新完毕开始阅读
①求证：OD＝OA．
②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．
（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）①连接OB、OC，则∠BOD＝BOC＝∠BAC＝60°，即可求解，②BC长度为定值，△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，即可求解，
（2）∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，而∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，即可求解． 解：（1）①连接OB、OC，
则∠BOD＝BOC＝∠BAC＝60°， ∴∠OBC＝30°， ∴OD＝OB＝OA， ②∵BC长度为定值，
∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大， 当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD＝， △ABC面积的最大值＝×BC×AD＝×2OBsin60°×＝（2）如图2，连接OC，
，
设：∠OED＝x，
则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，
则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC， ∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，
∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx， ∵OE＝OD，
∴∠AOD＝180°﹣2x，
即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x， 化简得：m﹣n+2＝0．
【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到解直角三角形、三角形内角和公式，其中（2），∠AOD＝∠COD+∠AOC是本题容易忽视的地方，本题难度适中．
22.（2019年浙江省宁波市）如图1，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与
AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF⊥EC交AE于点F． （1）求证：BD＝BE．
（2）当AF：EF＝3：2，AC＝6时，求AE的长． （3）设
＝x，tan∠DAE＝y．
①求y关于x的函数表达式，
②如图2，连结OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）根据等边三角形的性质和圆周角定理解答即可，
（2）过点A作AG⊥BC于点G，根据等边三角形的性质和勾股定理解得即可， （3）①过点E作EH⊥AD于点H，根据三角函数和函数解析式解得即可， ②过点O作OM⊥BC于点M，根据相似三角形的判定和性质解答即可． 证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠C＝60°，
∵∠DEB＝∠BAC＝60°，∠D＝∠C＝60°， ∴∠DEB＝∠D， ∴BD＝BE，
（2）如图1，过点A作AG⊥BC于点G， ∵△ABC是等边三角形，AC＝6， ∴BG＝
，
BG＝3
，
∴在Rt△ABG中，AG＝∵BF⊥EC， ∴BF∥AG， ∴
，
∵AF：EF＝3：2， ∴BE＝BG＝2， ∴EG＝BE+BG＝3+2＝5， 在Rt△AEG中，AE＝
（3）①如图1，过点E作EH⊥AD于点H，
，
∵∠EBD＝∠ABC＝60°， ∴在Rt△BEH中，
，
∴EH＝∵
，BH＝，
，
∴BG＝xBE，
∴AB＝BC＝2BG＝2xBE，
∴AH＝AB+BH＝2xBE+BE＝（2x+）BE，
∴在Rt△AHE中，tan∠EAD＝，
∴y＝，
②如图2，过点O作OM⊥BC于点M，
设BE＝a， ∵
，
∴CG＝BG＝xBE＝ax， ∴EC＝CG+BG+BE＝a+2ax， ∴EM＝EC＝a+ax， ∴BM＝EM﹣BE＝ax﹣a， ∵BF∥AG， ∴△EBF∽△EGA， ∴∵AG＝∴BF＝
， ， ，