发布时间 : 星期六 文章勾股定理及逆定理应用（含解答）更新完毕开始阅读
答案：
1. 勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.即a2+b2=c2.
2222222.(1)c=6?8=10;(2)b=41?40=9;(3)c=2a=4,b=4?2=12;(4)a2+b2=16=2a2,a2=
8,a=b=8. 讲解新课.
1.逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，有下面关系：a2+b2=c2 ， 那么这个三角形是直角三角形 强调说明：
（1）勾股定理及其逆定理的区别
勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理． （2）判定直角三角形的方法： ①角为、②垂直、③勾股定理的逆定理 例题精选
例1 试判断：三边长分别为2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1(n>0)的三角形是否是直角三角形？ 分析 先确定最大边.
解 ∵(2n2+2n+1)－(2n2+2n)=1>0,
(2n2+2n+1)－(2n+1)=2n2>0(∵n>0) ∴ 2n2+2n+1为三角形中的最大边. 又∵ (2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1, (2n2+2n)2+(2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1, ∴ (2n2+2n+1)2=(2n2+2n)2+(2n+1)2, 根据勾股定理的逆定理，可以判定： 此三角形为直角三角形.
说明 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数.称为勾股数.请同学们找出五组勾股数：3，4，5； 6，8，10； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41.
1例2 在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=4BC
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(如图)，求证：?EFA=90?.
证明： 设正方形ABCD的边长为4a,则EC=a，BE=3a,CF=DF=2a.
在RtΔ ABE中，由勾股定理得： AE=AB+BE=(4a)+(3a)=25a. 在
2
2
2
2
2
2
A
D
F
中，由勾股定理得： B 222222
AF=AD+DF=(4a)+(2a)=20a.
RtΔ ADF
E C
在RtΔ ECF中，由勾股定理得： EF2=EC2+CF2=a2+(2a)2=5a2. 在ΔAFE，AF2+EF2=20a2+5a2=25a2. 又∵ AE2=25a2
A ∴ AF2+EF2=AE2.
由勾股定理的逆定理可知：ΔAFE为RtΔ ，且AE为最大边即?AFE=90?. 例3 如图，已知：在ΔABC中，?C=90?，M是BC的中点，MD?AB于D，求证：
D C M B AD2=AC2+BD2.
分析 从求证式来看，想到如果能以AD、AC、BD为边构造一个三角形，进而证明它是直角三角形，则问题即告解决.但是这个思路在具体构造三角形时会遇到困难，
只好暂时放弃，另辟蹊径.
略证 连结AM
则AC2+BD2= AC2+BM2－DM2= AC2+CM2－DM2
=AM2－DM2=AD2.
说明 在证明一个等式时，如果两条线段之间没有联系，可以将其中一个(或两个)通过勾股定理进行转化，最后转化到一个直角三角形里面，从而得到证明.
随堂练习1.判断三边分别是下列各数的ΔABC是否为直角三角形 (1)(1) a=3+1,b=3－1,c=22.
35(2)(2) 2,2,2.
(3)(3) b=3a,c=2a.
2.已知：ΔABC中，AB=17cm,BC=30cm,BC边上的中线AD=8cm,求证：ΔABC是等腰三角形.
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3.已知：在ΔABC中，AB=AC，D是BC上一点，求证： AB2－AD2 =BD·DC.
4.CD是ΔABC的高，D在边AB上，且有CD2=AD·DB，求证：ΔABC为RtΔ . 5．若ΔABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断ΔABC的形状.
6.已知：如图，DE=m,BC=n,?EBC与?DCB互余，求
E D BD2+CD2.
小结：在这个定理之前，我们判定一个三角形是直角
B C 三角形，只能用定义，即证明三角形中有一个角是直角，或者一个三角形中有两条边互相垂直。勾股定理的逆定理
所给出的判定一个三角形是直角三角形的方法，与前面学过的判定方法不同，它需要通过代数运算“算”出来.勾股定理的逆定理，在作图中也有许多应用，可以用它来确定直角.
作 业：P107 T9,10 B组 T3. 练习答案：1.(1)是；(2)是；(3)是. 2.证ΔABD为RtΔ . 3.作AE?BC于E. 4.CD2=AC2－AD2=AD·BD. 5.配方即可.
6.延长BE、CD交于F利用勾股定理可得：BD2+CE2=m2+ n2.
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