发布时间 : 星期六 文章2020年中考数学二轮复习重难题型突破类型七 综合实践题更新完毕开始阅读
∴△PCQ是等边三角形， 又∵PE⊥QC，∴E为QC的中点， ∵AB＝BC，BD⊥AC，∴D为AC的中点， 1
∴DE＝AQ，DE∥AQ；
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第5题解图③
(2)如解图③，连接PC，取PC中点M，连接MD、ME，设PE与AC交点为N， ∵∠PDC＝90°， 1
∴MD＝PC，
2
1
同理ME＝PC，即MP＝MC＝MD＝ME，
2∴P、D、E、C四点共圆， ∴∠NCE＝∠NPD，∠EDC＝∠NPC， ∵DE∥AQ，∴∠QAC＝∠EDC， 又∠QAC＝∠PBC， ∴∠NPC＝∠PBC，
∵∠EPD＋∠NPC＝∠PBC＋∠BCP， ∴∠EPD＝∠BCP， ∴∠NCE＝∠BCP.
由∠NCE＝∠BCP，∠QAC＝∠PBC，得△QAC∽△PBC， ∴
AQAC2DC∠ABC＝＝＝2sin∠DBC＝2sin， BPBCBC2AQBP即 ＝2sinα.
例6．已知，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，点P是射线CB上一点(点P不与点B、C重合)，线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接QB交射线AC于点M.
(1)如图①，当AC＝BC，点P在线段CB上时，线段PB，CM的数量关系是________；
(2)如图②，当AC＝BC，点P在线段CB的延长线上时，(1)中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
AC5
(3)如图③，若＝，点P在线段CB的延长线上，CM＝2，AP＝13，求△ABP的面积．
BC2
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第6题图
【答案】解：(1)PB＝2CM；
【解法提示】如解图①，过点Q作QD⊥AC于点D，
第6题解图①
QE⊥BC交BC的延长线于点E.
∵AQ是由AP绕点A顺时针旋转90°得到的， ∴AP＝AQ，且∠PAQ＝90°，
∴∠PAC＋∠QAD＝90°，又∠PAC＋∠APC＝90°， ∴∠QAD＝∠APC， ∴△ACP≌△QDA(AAS)， ∴AC＝QD＝CE，
又∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AC＝BC＝EC，即点C为BE的中点， ∴CM＝1
2QE，即QE＝2CM，
连接AE，∵AC＝CE＝BC， ∴△ABE为等腰直角三角形， ∴AE＝AB，
∵∠BAE＝∠PAQ＝90°，∴∠BAP＝∠EAQ， 又∵AP＝AQ，
∴△APB≌△AQE(SAS)， ∴BP＝QE＝2CM， ∴PB＝2CM；
(2)(1)中的结论PB＝2CM仍然成立；
证明：如解图②所示，过点Q作QG⊥BC交BC的延长线于点G，过点A作AF⊥QG交QG的延长线于点F.
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第6题解图②
∵AQ是由AP绕点A顺时针旋转90°得到的， ∴AP＝AQ，且∠PAQ＝90°， ∴∠PAC＋∠CAQ＝90°， 又∵∠QAF＋∠CAQ＝90°， ∴∠PAC＝∠QAF， ∴△PAC≌△QAF(AAS)， ∴AC＝AF，
∴四边形AFGC为正方形， ∴CG＝AC＝BC，即C为BG的中点， ∴QG＝2CM，
连接AG可得，△ABG为等腰直角三角形， ∴AB＝AG，
∠PAB＋∠BAQ＝∠QAG＋∠BAQ＝90°， ∴∠PAB＝∠QAG， ∴△PAB≌△QAG(SAS)， ∴PB＝QG＝2CM， ∴PB＝2CM；
(3) 如解图③所示，过点Q作QH⊥AC交AC的延长线于点H.
第6题解图③
由题知，ACBC＝5
2
，设AC＝5a，BC＝2a，
由(2)知，△ACP≌△QHA，∴QH＝AC＝5a， 又∵△BCM∽△QHM， ∴BCQH＝CMMH， ∴
2a5a＝2
MH，∴MH＝5，
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又∵AP＝AQ＝13，
∴在Rt△AHQ中，根据勾股定理得：QH＋AH＝AQ， ∴(5a)＋(5a＋2＋5)＝13， 化简得：5a＋7a－12＝0， 即(a－1)(5a＋12)＝0， 12
解得：a1＝1，a2＝－(舍)，
5∴BC＝2，AH＝CP＝12，AC＝5， ∴BP＝PC－BC＝12－2＝10， 11
∴S△ABP＝BP·AC＝×10×5＝25.
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例7．如图，等边△ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形． (1)如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？
(2)如图②，当点M在线段BC上时，其他条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；
(3)若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断(1)的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．
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第7题图
【答案】解：(1)EN＝MF；
【解法提示】如解图①，连接DE、DF， ∵D、E、F是等边△ABC三边中点，
∴△DEF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°， ∵△DMN为等边三角形，∴DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴∠MDF＝∠NDE＝60°＋∠NDF， ∴△DMF≌△DNE(SAS)，∴EN＝MF.
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