发布时间 : 星期五 文章2020年中考数学二轮复习重难题型突破类型七 综合实践题更新完毕开始阅读
∴CP＝BQ；
(2)成立，理由如下： 如解图②，连接OQ，
图②
由旋转知PQ＝OP，∠OPQ＝60°， ∴△POQ是等边三角形， ∴OP＝OQ，∠POQ＝60°， ∵在Rt△ABC中，O是AB中点， ∴OC＝OA＝OB，
∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，
?OC＝OB在△COP和△BOQ中，?
?∠COP＝∠BOQ，
??OP＝OQ∴△COP≌△BOQ(SAS)， ∴CP＝BQ； (3)BQ＝
6－22
. 【解法提示】在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝6， ∴BC＝AC·tanA＝2，
如解图③，过点O作OH⊥BC于点H，
第3题解图③
∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AC， ∵O是AB中点，
∴CH＝12BC＝22，OH＝12AC＝62，
∵∠BPO＝45°，∠OHP＝90°， ∴∠BPO＝∠POH，∴PH＝OH＝
6
2
， 5
∴CP＝PH－CH＝
626－2－＝， 222
6－2
. 2
连接OQ，同(1)的方法得，BQ＝CP＝
例4．已知正方形ABCD，点E在直线AD上(不与点A、D重合)，连接BE，作EF⊥BE，且EF＝BE，过点F作FG⊥BC，交直线BC于点G.
(1)如图①，当点E在边AD上，点G在边BC的延长线上时，求证：AB＋AE＝BG；
(2)如图②，当点E在边DA的延长线上，点G在边BC上时，FG交AD于点H，试猜想AB、AE与BG的关系，并加以证明； (3)如图③，当点E在边AD的延长线上，点G在边BC上时，FG交AD于点N，请直接写出线段AB、AE、BG之间的数量关系，不需要证明．
图① 图② 图③第4题图
【答案】(1)证明：如解图，延长AD交GF的延长线于点M， ∵四边形ABCD是正方形，
第4题解图
∴∠A＝90°，∠ABC＝90°， 又∵FG⊥BC，
∴四边形ABGM是矩形， ∴AM＝BG，
∵∠A＝90°，EF⊥BE，∠M＝90°， ∴∠AEB＝∠MFE，
?∠A＝∠M在△ABE和△MEF中，?
?∠AEB＝∠MFE，
??EB＝EF∴△ABE≌△MEF(AAS)， ∴AB＝EM，
∵AM＝AE＋EM＝AE＋AB，
6
∴AB＋AE＝BG； (2)AB－AE＝BG；
证明：∵∠FEH＋∠BEA＝90°， ∠BEA＋∠ABE＝90°， ∴∠FEH＝∠ABE，
∠BAE＝∠EHF??
在△ABE和△HEF中，?∠ABE＝∠HEF，
??BE＝EF∴△ABE≌△HEF(AAS)，
∴EH＝AB，EH－AE＝AB－AE＝AH， ∵四边形ABGH是矩形， ∴AH＝BG，∴AB－AE＝BG； (3)AE＝AB＋BG.
【解法提示】由(2)得△ABE≌△NEF， ∴NE＝AB，
∵AN＋NE＝AN＋AB＝AE，BG＝AN， ∴AE＝AB＋BG.
1
例5．如图，△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D，∠FAC＝∠ABC，且∠FAC在AC下方，点P，Q分别是射线BD，射线
2
AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PE⊥CQ于点E，连接DE.
(1)若∠ABC＝60°，BP＝AQ.
①如图①，当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系； ②如图②，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；
(2)若∠ABC＝2α≠60°，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使(1)中①的结论仍然成立(用含α的三角函数表示)．
第5题图
1
【答案】解：(1)①DE＝AQ，DE∥AQ；
2
②成立；
7
【解法提示】如解图①，连接PC、PQ，
第5题解图①
∵BA＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC，
∵BC＝AC，∠FAC＝∠PBC＝30°，AQ＝BP，∴△AQC≌△BPC(SAS)， ∴QC＝PC，∠ACQ＝∠BCP，
∴∠ACQ＋∠ACP＝∠BCP＋∠ACP＝60°， ∴△PCQ是等边三角形， 又PE⊥QC，∴E为QC的中点， ∵AB＝BC，BD⊥AC，∴D为AC的中点， ∴DE＝1
2AQ，DE∥AQ；
②成立．理由如下： 如解图②，连接PC、PQ.
∵BA＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC， ∵BC＝AC，∠FAC＝∠PBC＝30°，AQ＝BP，∴△AQC≌△BPC(SAS)， ∴QC＝PC，∠ACQ＝∠BCP， ∴∠PCQ＝∠BCA＝60°，
第5题解图②
8