发布时间 : 星期四 文章(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.2 空间点_直线_平面之间的位置更新完毕开始阅读
解 设N为BF的中点，连结EN，MN，
则∠MEN是异面直线EM与AF所成的角或其补角. 不妨设正方形ABCD和ADPQ的边长为4， 则EN＝5，EM＝26，
MN＝33.
在△MEN中，由余弦定理得
EM2＋EN2－MN2
cos ∠MEN＝
2EM·EN＝
130＝－＝－.
302×26×530
30
. 30
24＋5－33
即cos θ＝思维升华 用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；
(3)三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
(2016·盐城模拟)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为________. 答案
3 6
解析 画出正四面体ABCD的直观图，如图所示.
设其棱长为2，取AD的中点F，连结EF， 设EF的中点为O，连结CO， 则EF∥BD，
则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角. △ABC为等边三角形，则CE⊥AB， 易得CE＝3，同理可得CF＝3， 故CE＝CF.
因为OE＝OF，所以CO⊥EF. 111
又EO＝EF＝BD＝，
242
所以cos∠FEC＝＝
EOCE123
＝3. 6
16.构造模型判断空间线面位置关系
典例 已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β； ②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β； ③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β； ④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n. 其中所有正确的命题是________.
思想方法指导 本题可通过构造模型法完成，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误.对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.
解析 借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α、β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为
n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，
所以m⊥n，故④正确.
答案 ①④
1.在下列命题中，不是公理的有________.(填序号) ①平行于同一个平面的两个平面相互平行； ②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
③如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内； ④如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 答案 ①
解析 命题①是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的. 2.(2016·南京、盐城一模)现有如下命题： ①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直； ②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；
③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；
④如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内.
其中正确的命题是________.(填序号) 答案 ①③④
解析 过平面外一点有无数条直线与该平面平行，故②错.
3.(2016·镇江模拟)设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题： ①若b?α，c∥α，则b∥c； ②若b?α，b∥c，则c∥α； ③若c∥α，α⊥β，则c⊥β； ④若c∥α，c⊥β，则α⊥β. 其中正确的命题是________.
答案 ④
解析 ①中直线b，c平行或异面，则①错误；②中c∥α或c?α，则②错误；③中c，β的位置关系可能平行、相交或者直线在平面上，则③错误；由线面平行的性质、线面垂直的性质、面面垂直的判定定理可知④正确，故正确命题是④.
4.在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则下列命题正确的有________. ①M一定在直线AC上； ②M一定在直线BD上；
③M可能在AC上，也可能在BD上； ④M既不在AC上，也不在BD上. 答案 ①
解析 由于EF∩HG＝M，且EF?平面ABC，
HG?平面ACD，所以点M为平面ABC与平面ACD的一个公共点，而这两个平面的交线为AC，
所以点M一定在直线AC上，故①正确.
5.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是__________. 答案 (0，2)
解析 此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a的棱长一定大于0且小于2.
6.(2016·常州模拟)在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条. 答案 5
解析 如图，有5条.其为BC，AA1，CD，C1D1，BB1.
7.(2016·苏州模拟)若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对. 答案 24