发布时间 : 星期日 文章高考数学一轮复习第6章数列第4节数列求和教学案理北师大版更新完毕开始阅读
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即??＜，由此得n≥5. ?5?5
∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.
[评析] 本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点，正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧．
【素养提升练习】 公民在就业的第一年就交纳养老储备金a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d＞0)，历年所交纳的储备金数目a1，a2，…，是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．如果固定年利率为
r(r＞0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1＋r)n－1，第二年所交纳的
储备金就变为a2(1＋r)
n－2
，…，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额．
求证：Tn＝An＋Bn，其中{An}是一个等比数列，{Bn}是一个等差数列． [解] T1＝a1，对n≥2反复使用上述关系式，得
Tn＝Tn－1(1＋r)＋an
＝Tn－2(1＋r)＋an－1(1＋r)＋an ＝a1(1＋r)
n－12
＋a2(1＋r)
n－2
＋…＋an－1(1＋r)＋an，①
在①式两端同乘1＋r，得 (1＋r)Tn＝a1(1＋r)＋a2(1＋r)②－①，得
nn－1
＋…＋an－1(1＋r)＋an(1＋r)，②
2
drTn＝a1(1＋r)n＋d[(1＋r)n－1＋(1＋r)n－2＋…＋(1＋r)]－an＝[(1＋r)n－1－r]＋a1(1
r＋r)－an.
即Tn＝
na1r＋dda1r＋dn(1＋r)－n－2. 2
rrra1r＋da1r＋ddn(1＋r)，Bn＝－2－n， 2
rrra1r＋d(1＋r)为首项，以1＋r(r＞0)为公比的等比数列；r2
如果记An＝
则Tn＝An＋Bn，其中{An}是以{Bn}是以－
a1r＋ddd－为首项，－为公差的等差数列． 2
rrr借助数列的递推关系建立等量关系
【例2】 大学生自主创业已成为当代潮流．某大学大三学生夏某今年一月初向银行贷款两万元作开店资金，全部用作批发某种商品．银行贷款的年利率为6%，约定一年后一次还清贷款．已知夏某每月月底获得的利润是该月月初投入资金的15%，每月月底需要交纳个人所得税为该月所获利润的20%，当月房租等其他开支1 500元，余款作为资金全部投入批
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发该商品再经营，如此继续，假定每月月底该商品能全部卖出．
(1)设夏某第n个月月底余an元，第n＋1个月月底余an＋1元，写出a1的值并建立an＋1
与an的递推关系；
(2)预计年底夏某还清银行贷款后的纯收入．
(参考数据：1.12≈3.48,1.12≈3.90,0.12≈7.43×10
11
12
11
－11,
0.12≈8.92×10
12－12
)
[解] (1)依题意，a1＝20 000(1＋15%)－20 000×15%×20%－1 500＝20 900(元)，
an＋1＝an(1＋15%)－an×15%×20%－1 500
＝1.12an－1500(n∈N＋，1≤n≤11)． (2)令an＋1＋λ＝1.12(an＋λ)，则
an＋1＝1.12an＋0.12λ，
对比(1)中的递推公式，得λ＝－12 500. 则an－12 500＝(20 900－12 500)1.12即an＝8 400×1.12
n－1
n－1
，
＋12 500.
则a12＝8 400×1.12＋12 500≈41 732(元)．
又年底偿还银行本利总计20 000(1＋6%)＝21 200(元)， 故该生还清银行贷款后纯收入41 732－21 200＝20 532(元)．
[评析] (1)先求出a1的值，并依据题设得出an＋1与an的关系；(2)利用构造法求得{an}的通项公式，并求相应值．
【素养提升练习】 如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)，…，是曲线C：y2
11
1
＝x(y≥0)上的点，A1(a1,0)，A2(a2,0)，…，An(an,0)，…，是x轴正半轴上的点，且△A0A1P1，2△A1A2P2，…，△An－1AnPn，…，均为斜边在x轴上的等腰直角三角形(A0为坐标原点)．
(1)写出an－1、an和xn之间的等量关系，以及an－1、an和yn之间的等量关系； (2)用数学归纳法证明an＝(3)设bn＝值范围．
[解] (1)依题意，△A0A1P1，△A1A2P2，…，△An－1AnPn，…，均为斜边在x轴上的等腰直角三角形(A0为坐标原点)，故有xn＝
1＋
1＋
1
nn＋1
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(n∈N＋)；
，对所有n∈N＋，bn＜log8t恒成立，求实数t的取
an＋1an＋2an＋3
＋…＋
a2nan－1＋an2
，yn＝
an－an－1
2
.
1×2
(2)证明：①当n＝1时，可求得a1＝1＝，命题成立；
2②假设当n＝k时，命题成立，即有ak＝
kk＋1
2
.
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则当n＝k＋1时，
由归纳假设及(ak－ak－1)＝ak－1＋ak， 得?ak＋1－
2
2
??
kk＋1?2kk＋1
2
?＝?
2
2
＋ak＋1.
·
即(ak＋1)－(k＋k＋1)ak＋1＋解得ak＋1＝时，命题成立.
2
kk－1k＋1
2
2
k＋2
＝0，
k＋1
2
k＋2
(ak＋1＝
kk－1
＜ak，不合题意，舍去)，即当n＝k＋1
综上所述，对所有n∈N＋，an＝(3)bn＝＝＝
1＋
1＋
1＋…＋
nn＋1
2
.
1
an＋1an＋2an＋3
2
a2nn＋1n＋2
＋
2
n＋2n＋3
＋…＋
2n2
2n＋1
222n－＝2＝n＋12n＋12n＋3n＋1?
2
. 1??2n＋?＋3
?n?
11
因为函数f(x)＝2x＋在区间[1，＋∞)上单调递增，所以当n＝1时，bn最大为，即
x3
bn≤.
1
由题意，有＜log8t，
3
所以t＞2，所以，t∈(2，＋∞).
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