发布时间 : 星期六 文章应用弹塑性力学 李同林 第四章更新完毕开始阅读
若取过某点的x方向为单轴向力方向，则简单拉(压)时的虎克定律为: ζx=Eεx。由于这种关系反映出来的材料变形属性，应不随应力状态的不同而变化，因而人们认为，对于各种复杂应力状态也应有性质相同的关系，故可将上述应力应变线性比例关系推广到一般情况，即在弹性变形过程中，任一点的每一应力分量都是六个独立的应变分量的线性函数；反之亦然。这种形式的应力应变关系，称为广义虎克定律或弹性本构
①
方程，表达为数学形式则为:
式中是amn(m、n=1,2，?，6)共36个，是材料弹性性质的表征。由均匀性假设知，这种弹性性质应与点的位置坐标无关，于是弹性系数amn都是与位置无关的常数，故称为弹性常数。如果采用张量记法，则式(4-8)可缩写为:
式(4-9)中的aijkt与式(4-8)中的amn的对应关系如表4-1所示。
例如：C12 = C1122,C34=C3312或C3321,?
现在的问题是：广义虎克定律中的36个弹性常数是否都彼此无关?如果不是，那么在各种情况(如在各向同性体情况等)下，它们之间有什么关系?特别是对各种各向异性材料，它们之间又有什么关系?在回答这些问题之前，我们先引入弹性应变能的概念，并给出在普遍情况下应变能的计算公式。
4-3-2 弹性应变能函数
现设物体在外力作用下处于平衡状态，在物体产生弹性变形的过程中，外力沿其作用线方向的位移上作了功。若对于静载作用下的物体产生弹性变形过程中可以不计能量(包括动能与热量)的损失。于是，根据功能原理可以认为：产生此变形的外力在加载过程中所作的功将以一种能的形式被积累在物体内，此能量称为弹性应变能，或称弹性变形能，并且物体的弹性应变能在数值上等于外力功。这就是变形能原理。若弹性应变能用U表示，外力功用We，表示，则有:
在加载过程中，变形体的外力和内力都要作功。在小变形条件下，根据机械能守恒定理，则可认为这一过程中的外力功和内力功(用Wi表示)之和为零，也即:
于是有:
因为内力是由于材料对应变的抵抗而产生的，所以在静力加载过程中，内力与变形方向反，内力功取负值。
这里所谈的内力实际上就是指物体内的应力，也即一点单元体各微截面上作用的应力。显然，整个物体的内力功，就等于物体内每一点处(单元体)由于变形应力所作的内力功的总和。应当注意到，当我们取物体内一点(单元体)作为研究对象时，则该单元体各微截面上作用的应力，就应视为该单元体的外力了，见图2-12所示，当单元体各边长dx、dy、dz因变形都产生有位移分量δu、δv、δw时，应力分量ζij和应变分量εij也应有相应的增量，由此可计算出单元体上应力所作的功。
首先考察单元体上外法线与x轴相平行的微截面上拉力(或压力)所作的功，如图4-8(a)所示。当有应变增量δεx时，则两平行微截面间的相对位移为δεxd x。略去右侧截面上正应力增量势错误！未找到引用源。dx一项(因该项力所作的功为高阶微量)，则得单元体x方向的拉力(或压力) ζxdydz所作的功为(b)式第一项.同理可得单元体y、z方向上的拉力(或压力)所作的功为(b)式后两项:
再考察单元体xOy平面内剪力在剪变形上所作的功。如图4-8(b)所示，当有剪应变增量δγxy时，同理略去剪应力增量错误！未找到引用源。dx，单元体两侧面上作用的剪力错误！未找到引用源。xydydz组成力偶错误！未找到引用源。xydydzdx，则该力偶所作的功为式(c)第一项。同理再考察单元体yOz或zOx截面上剪力作的功，可得式(c)后两项:
综上所述，物体内一点单元体各微截面上的全部外力在微小变形增量上所作的功为:
考虑到dxdydz是单元体的体积，因此单元体中单位体积内外力在微小应变增量上所作的功为:
根据外力功与应变能的关系，单位体积内外力在微小应变增量上所作的功应等于单位体积内应变能的全部增量δU0，即：
从零应变状态到达某一应变状态εij的过程中，积累在弹性体单位体积内的应变能，称为应变能密度或应变比能，记为U0。则为：
于是整个弹性体内的应变能为：
由式（4-13）知，δU0。是单位体积应变能增量，因而由式(4-14)知应变比能U0是应变状态的函数，即:
则可表示为函数的全微分，也即：
与式(4-13)相比较，即得：
函数U0称为弹性应变比能函数或弹性势。此式表明，应力分量等于弹性应变比能函数对相应的应变分量求一阶偏导数，且该式适用于一般弹性体，可缩记为：
4-3-3 弹性常数间的关系
现在我们来回答前面提出的问题，即式（4-8）中的36个弹性常数之间有什么关系?我们先从最复杂的情况开始，逐个加以讨论。 1 极端各向异性体
如果在物体内的任一点，沿任何两个不同方向上的弹性性质都互不相同时，则称该物体为极端各向异性体。在实际工程材料中，这种情况虽然很少见到，但其36个弹性常数之间也存在有某些内在联系。
现将式(4-8)中第一式对εy求偏导，第二式对εx求偏导，则有：
根据式(4-18)的结论有：
由于应变比能U0是应变分量的连续函数，故式(f)中两式应相等，联系式(e)得：a12=a21。同理可证明36个弹性常数之间存在有以下关系;
因此，可知这36个弹性常数中，对极端各向异性体，独立的弹性常数只有21个。于是极端各向异性体从零应变状态到应变状态为εij的过程中，积累在单位体积内的应变能为:
注意上式中不带系数错误！未找到引用源。的项均为合并项。
2 正交各向异性体
如果在物体内的每一点都有三个互相正交的弹性对称面，在侮个面两边的对称方向上弹性相同，但在这三个方向上弹性各不相同。这种物体就称为正交各向异性体。例如工程上常见的双向配筋不同的钢筋混凝土构件、木材以及煤岩等。
若取x、y轴在一弹性对称面内，则z轴颠倒方向时，如图4-9 (a)所示，由于xOy平面两侧弹性相同，由式(4-21)所得的U0值应不变，因为U0只取决于弹性常数和最终的应变状态，同坐标系的选择无关。因此，只
要xOy为平面两边弹性相同，变形结果也相同。而U0的数值与z轴怎样设取无关。于是对于弹性体应有：
若同理再讨论另两个弹性对称平面，则在式(g)所得结果基础上，还应有：
因此，对于正交各向异性体，独立的物性参数只剩下9个。则由式(4-8)得正交各向异性体的应力应变关系为:
应变比能为:
从以上讨论可以看出，如果所设的x、y、z轴恰在应变的主方向上，则有γxy=γyz=γzx=0，同时由式(4-22)可得错误！未找到引用源。xy=错误！未找到引用源。yz=错误！未找到引用源。zx=0，即所设x、y、z方向也恰是应力的主方向。因此结论是：