发布时间 : 星期六 文章4-3三角函数的图象与性质更新完毕开始阅读
8C.7 [答案] B
4D.7
[分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解. [解析]
如图,过P作PC⊥x轴,垂足为C,设∠APC=α,∠BPC=β,∴∠APB13
2πAC21BC23
=α+β,y=sin(πx+φ),T=π=2,tanα=PC=1=2,tanβ=PC=1=2,则tan(α132+2tanα+tanβ
+β)==13=8,
1-tanα·tanβ
1-2×2
∴选B.
13.(文)(2011·湖南长沙一中月考)下列函数中,图象的一部分如图所示的是( )
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π
A.y=sin(2x+6) π
B.y=sin(2x-6) π
C.y=cos(2x+3) π
D.y=cos(2x-6) [答案] D
πππ
[解析] 将(-6,0)代入选项逐一验证,对A项,y=sin(-3+6)≠0,A错;π
对B项,y=sin(-2)=-1≠0,B错;对C项y=cos0=1≠0,C错;对D项,πππ
y=cos(-3-6)=cos2=0符合,故选D.
(理)(2012·湖南衡阳联考二)已知函数y=f(x)sinx的一部分图象如图所示,则函数f(x)的表达式可以是( )
A.2sinx C.-2sinx [答案] D
[解析] 由图象知,y=-sin2x=-2sinxcosx=f(x)sinx,∴f(x)=-2cosx. π
14.已知关于x的方程2sinx-3sin2x+m-1=0在x∈(2,π)上有两个不
2
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B.2cosx D.-2cosx
同的实数根,则m的取值范围是________.
[答案] -2 [解析] m=1-2sin2x+3sin2x=cos2x+3sin2x π =2sin(2x+6), π ∵x∈(2,π)时,原方程有两个不同的实数根, ππ ∴直线y=m与曲线y=2sin(2x+6),x∈(2,π)有两个不同的交点,∴-2 A15.(文)(2012·山东理,17)已知向量m=(sinx,1),n=(3Acosx,2cos2x)(A>0),函数f(x)=m·n的最大值为6. (1)求A; π (2)将函数y=f(x)的图象向左平移12个单位,再将所得图象上各点的横坐标15π 缩短为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象.求g(x)在[0,24]上的值域. [分析] (1)根据向量的数量积的坐标运算,利用辅助角公式得到函数解析式,进而确定A的值;(2)利用图象变换得到函数g(x)的解析式,再根据角的范围求出函数的值域. [解析] (1)∵f(x)=m·n A =3Asinxcosx+2cos2x 3Aπ=2Asin2x+2cos2x=Asin(2x+6), 又f(x)的最大值为6, ∴A=6 - 11 - πππ (2)函数y=f(x)的图象向左平移12个单位得到函数y=6sin[2(x+12)+6],即π1 y=6sin(2x+3)的图象,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的2,纵坐标不π 变,得到函数g(x)=6sin(4x+3)的图象. 5πππ7ππ1 当x∈[0,24]时,4x+3∈[3,6],sin(4x+3)∈[-2,1],g(x)∈[-3,6]. 5π 故函数g(x)在[0,24]上的值域为[-3,6]. [点评] 本题综合考查了三角函数y=Asin(ωx+φ)的性质以及图象变换,求函数值域时要注意角的范围的讨论. ππ (理)(2012·天津理,15)已知函数f(x)=sin(2x+3)+sin(2x-3)+2cos2x-1,x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期; ππ (2)求函数f(x)在区间[-4,4]上的最大值和最小值. [分析] (1)先用两角和与差的正弦公式展开,然后用辅助角公式化为一个角ππ 的一个三角函数,可求得最小正周期;(2)根据函数f(x)的在区间[-4,4]上的单调性求最值. ππππ [解析] (1)f(x)=sin2x·cos3+cos2x·sin3+sin2x·cos3-cos2x·sin3+cos2x π=sin2x+cos2x=2sin(2x+4). 2π 所以,f(x)的最小正周期T=2=π. ππππ (2)因为f(x)在区间[-4,8]上是增函数,在区间[8,4]上是减函数, πππππf(-4)=-1,f(8)=2,f(4)=1,故函数f(x)在区间[-4,4]上的最大值为2, - 12 -