发布时间 : 星期六 文章2018-2019学年高考数学选修2-3第一章计数原理训练卷(一)-教师版更新完毕开始阅读
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2018-2019学年选修2-3第一章训练卷
计数原理（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ） A．8种 B．12种
C．16种
D．20种
【答案】B
【解析】在正方体ABCD?A1B1C1D1中，选取3个面有2个不相邻，则必选相对的2个面，所以分3类．
若选ABCD和A1B1C1D1两个面，另一个面可以是ABB1A1，BCC1B1，CDD1C1和ADD1A1中的一个，有4种，
同理选另外相对的2个面也有4种．所以共有4?3?12 (种)．
2．已知C778?N*n?1?Cn?Cnn??，则n等于（ ）
A．14 B．12 C．13 D．15
【答案】A
【解析】因为C87878n+Cn?Cn?1，所以Cn?1?Cn?1．∴7＋8＝n＋1，∴n＝14，故选A．
3．某铁路所有车站共发行132种普通客票，则这段铁路共有车站数是（ ） A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】B
【解析】∵A2n?n?n?1??132．∴n?12．故选B． 4．?1?x?7的展开式中x2的系数是（ ） A．42 B．35 C．28 D．21
【答案】D
【解析】展开式中第r＋1项为Trr?1?C7xr，TC2223?7x，∴x2的系数为C7?21． 5．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）A．3×3! B．3×(3！)3
C．(3！)4
D．9!
【答案】C
【解析】本题考查捆绑法排列问题．由于一家人坐在一起，可以将一家三口人看作一个整体，一家人坐法有3！种，三个家庭即(3！)3种，三个家庭又可全排列， 因此共(3！)4种．注意排列中在一起可用捆绑法，即相邻问题．
6．某校园有一椭圆型花坛，分成如图四块种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求每块地只能种一种颜色，且有公共边界的两块不能种同一种颜色，则不同的种植方法共有（ ）
A．48种 B．36种 C．30种
D．24种
【答案】A
【解析】由于相邻两块不能种同一种颜色，故至少应当用三种颜色，故分两类．
第一类，用4色有A43434种，第二类，用3色有4A3种，故共有A4?4A3?48种．
7．若多项式x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋L＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则
a9＝（ ） A．9 B．10
C．－9
D．－10
【答案】D
【解析】x10的系数为
a10，∴a910?1，x9的系数为a9?C10?a10，∴a9?10?0，
∴a9??10，故应选D．
另解：∵[(x＋1)－1]2＋[(x＋1)－1]10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋L＋a10(x＋1)10， 显然a9?C110??1???10．
8．从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ） A．48种 B．36种
C．18种
D．12种
【答案】B
【解析】分两种情况：（1）小张小赵去一人：C1132C2A3?24； （2）小张小赵都去：A222A3?12，故有36种，应选B．
9．已知?1?x?n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A．212 B．211 C．210 D．29
【答案】D
【解析】由题意可得，二项式的展开式满足Trxr，37r?1?Cn且有Cn?Cn，
因此n＝10． 令x＝1，则?1?x?n?210，即展开式中所有项的二项式系数和为210；令x＝－1，则?1?x?n?0，即展开式中奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数之差为0，因此奇数项的二项式系数和为
12?210?0??29．故本题正确答案为D． 10．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封
放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有（ ）
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
【答案】B
【解析】由题意不同的放法共有C1223C4C2?18种．
11．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的 偶数共有（ ） A．144个 B．120个
C．96个
D．72个
【答案】B
【解析】据题意，万位上只能排4、5．若万位上排4，则有2?A34个；若万位上排
5，则有3?A3334个．所以共有2?A4+3?A4?5?24?120个．故选B．
12．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（ ） A．24对 B．30对
C．48对
D．60对
【答案】C
【解析】解法1：先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成60°角的对数，
然后根据正方体六个面的特征计算总对数．
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与面对角线AC成60°角的面对角线有B1C、
BC1、C1D、CD1、A1D、AD1、A1B、AB1共8条，同理与BD成60°角的面对角线也有8条，因此一个面上的对角线与其相邻4个面的对角线，共组成16对，又正方体共有6个面，所有共有16×6＝96对．因为每对都被计算了两次(例如计算与AC成60°角时，有AD1，计算与AD1成60°角时有AC，故AD1与AC这一对被计算了2次)，因此共有12
×96＝48对．
解法2：间接法．正方体的面对角线共有12条，从中任取2条有C212种取法，其中相互平行的有6对，相互垂直的有12对，∴共有C212?6?12?48对．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）
13．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选法有________种(用数值表示) 【答案】120
【解析】由题得选取的情况有三种，分别是1名男教师和4名女教师；2名男教师和3名女教师；3名男教师和2名女教师．
当选1名男教师和4名女教师时，有C143C6?45种； 当选2名男教师和3名女教师时，有C233C6?60种； 当选3名男教师和2名女教师时，有C323C6?15种，
所以不同的选取方式的种数共有45?60?15?120种．
14．?a?x??1?x?4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________． 【答案】3
【解析】由已知得(1＋x)4＝1＋4x＋6x2＋4x3＋x4，故(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax，4ax3，x，6x3，x5，其系数之和为4a＋4a＋1＋6＋1＝32，解得a＝3．
15．有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复． 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有________种(用数字作答)． 【答案】264
【解析】由条件上午不测“握力”，则4名同学测四个项目，有A44；下午不测“台阶”但不能与上午所测项目重复，如
甲 乙 丙 丁 上午 台阶 身高 立定 肺活量 下午 下午甲测“握力”乙、丙、丁所测不与上午重复有2种，甲测“身高”、“立定”、“肺活量”中一种有3×3＝9，故A44?2?9??264种．
16．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，能被3整除的数有________个． 【答案】228
【解析】一个数能被3整除的条件是它的各位上的数字之和能被3整除．根据这点，分为如下几类：
（1）三位数各位上的数字是1，4，7或2，5，8这两种情况，这样的数有2A33?12 (个)．
（2）三位数的各位上只含0，3，6，9中的一个，其他两位上的数则从(1，4，7)
和(2，5，8)中各取1个，这样的数有C11C134C33A3?216 (个)，但要除去0在百位上的数，有C1123C3A2?18 (个)，因而有216－18＝198(个)．
（3）三位数的各位上的数字是0，3，6，9中的3个，但要去掉0在百位上的， 这样应有3×3×2＝18(个)，综上所述，由0到9这10个数字所构成的无重复数字且
能被3整除的3位数有12＋198＋18＝228(个)．
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（12分）一个小组有10名同学，其中4名男生，6名女生，现从中选出3名代表，
（1）其中至少有一名男生的选法有几种？ （2）至多有1名男生的选法有几种？ 【答案】（1）100种；（2）80种． 【解析】（1）方法一：(直接法)．
第一类：3名代表中有1名男生，则选法种数为C124?C6?60 (种)；
第二类：3名代表中有2名男生，则选法种数为C24?C16?36 (种)；
第三类：3名代表中有3
名男生，则选法种数为C34?4 (种)；
故共有60＋36＋4＝100(种)． 方法二：(间接法)．
从10名同学中选出3名同学的选法种数为C310种． 其中不适合条件的有C3336种，故共有C10?C6?100 (种)．
（2）第一类：3名代表中有一名男生，则选法为C124C6?60 (种)；
第二类：3
名代表中无男生，则选法为C36?20 (种)；
故共有60＋20＝80(种)．
18．（12分）从－1、0、1、2、3这5个数中选3个不同的数组成二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数．
（1）开口向上的抛物线有多少条？
（2）开口向上且不过原点的抛物线有多少条？ 【答案】（1）36条；（2）27条．
【解析】（1）要使抛物线的开口向上，必须a?0，∴C123?A4?36 (条)．
（2）开口向上且不过原点的抛物线，必须a?0，c?0，∴C1113?C3?C3?27 (条)．
19．（12分）求?x?3x?9的展开式中的有理项．
【答案】第4
项－84x4和第
10
项－x3．
9?rr【解析】∵Tr?1?r?1?C9???x2???1???x3???(?1)r?Cr27?r， ??????9?x6令
27?r6?Z，即4?3?r6?Z，且r∈{0，1，2，…，9}．∴r＝3或r＝9． 当r＝3时，27－r6＝4，T3444???1??C39?x??84x； 当r＝9时，27－r6＝3，T?1?9?C93310??9?x??x． ∴
?x?3x?9的展开式中的有理项是：第4项－84x4
和第10项－x3
．
20．（12分）有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内． （1）共有多少种放法？
（2）恰有一个盒不放球，有多少种放法？ （3）恰有一个盒内有2个球，有多少种放法？ 【答案】（1）256种；（2）144种；（3）144种．
【解析】（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有4种独立的放法， 由分步乘法计数原理，放法共有44＝256(种)．
（2）为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2，1，1的三组，有C24种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球， 其余两个球，两个盒子，全排列即可．由分步乘法计算原理，共有放法：
C1?C21244?C3?A2?144 (种)．
（3）“恰有一个盒内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒．因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事．故也有144种放法． 21．（12分）(2015·北京高二质检)已知?3x2?3x2?n展开式中各项系数和比它的二
项式系数和大992．
（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中系数最大的项．
22【答案】（1）二项式系数最大项为第三、四两项，T63?90x，T4?270x3；
26（2）展开式中第5项系数最大，T5?405x3．
【解析】令x＝1得展开式各项系数和为?1?3?n?4n，