发布时间 : 星期一 文章(完整word)四川省绵阳市2020届高三第一次诊断性考试数学(理)试题及解析试卷版更新完毕开始阅读
A.4 B.2 C.1 D13 【答案】C
9．设函数f(x)?aex?lnx（其中常数a?0）的图像在点?1，f(1)?处的切线为l，则l在y轴上的截距为（ ）
A.1 B.2 C.ae?1 D.1-2ae 【答案】A
【解析】由题意得：x?1,f(1)?ae,所以f'(x)?aex?1x，k?ae?1根据直线的点斜式方程
y?(ae)?(ae?1)(x?1)，在y轴上截距，设x=0，y??ae?1?(0?1)?ae?1
【方法总结】此题考查函数的切线方程，做题时一定要注意切点在曲线上或直线不在曲线上，然后根据点斜式方程求解。
10．某数学小组进行社会实践调查，了解某公司为了实现1000万元利率目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.同学们利用函数知识，设计了如下的函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据：1.0021000?7.37，lg7?0.845）（ ）
A.y?0.25x B.y?1.002x C.y?logx7x?1 D.y?tan(10?1) 【答案】C
【解析】由题意得：有两个条件①奖金y?5；②奖金y?0.25x.且10?x?1000。A选项，当x?20时，y?5，不符合题意。B选项，当x?1000时，1.0021000?7.37，也超出了5，符合题意。D项，当x?1000时，
y?tan(x10?1)=y?tan(2)是一个负数，不符合题意。故运用排除法正确答案选C
【方法总结】此题考查的是函数的应用，需要掌握的是几种函数的增长情况，指数与对数函数的增长情况是我们需要重点掌握的。特别是只是函数与对数函数的图像与性质。 11．函数f(x)?sin(wx??6)(w?0)在???-?2，??2??上单调递增，且图像关于x???对称，则w的值为（ ） A.
253 B.3 C.2 D.83 【答案】A 【解析】
函数f(x)?sin(wx??6)(w?0)的递增区间-?2?2k???x??6??2?2k?(k?Z)，化简得：
??-2?2k???-2??-23????x?3??2k??(k?Z).已知在?????2?-2，2??单增，所以?3，?0???.又因为图像关于????3?3??2.x???对称，?x???6?2?k?(k?Z).
所以w???Z).因为??0此时k=-1,所以??23?k(k?3 【方法总结】此题考查三角函数的对称轴和单调区间，涉及在知识的交叉点命题思路，这是高考命题的思路。题目综合性强，需要逆向思维。题目属于中等难度。
12．在△ABC中，角A为
?3，角A的平分线AD交BC于点D，已知AD?23,且?AB?AD?13AC(??R),则AB在AD方向上的投影是（ ） A.1 B.32 C.3 D,332
【答案】D
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分。共20分。
13.已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)?f(x?2)，当x??0,2?时，f(x)?ex，则f(7)?
【答案】e
【解析】因为f(x)?f(x?2)，周期T?2,f(7)?f(1)?e 【方法总结】基础题，考查函数的性质。
14.已知向量a?(?2,2)，向量b的摸为1，且|a?2b|?2,则a与b的夹角为 【答案】
?4 【解析】由已知得：|a|?22,|b|?1，|a?2b|?2,a2?4ab?4b2?4所以ab?2
1?22cos??2,???4
【方法总结】此题考查平面向量的数量积，基础题
15.2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空
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装备分秒不差飞跃天安门，状军威，振民心，令世人瞩目。飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析。一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以722千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西
?3的方向上，1分钟后第二次观测该飞机在北偏西5?12的方向上，仰角为?6，则直升机飞行的高度为（结果保留根号）
【答案】
235 16.若函数f(x)?12x2?m(lnx?x)?x有且仅有一个零点，则实数m的取值范围 【答案】m??12或m?0
三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解：（1）f(x)?(cosx?sinx)2?2sin2x
?1?2sinxcosx?2sin2x
?cos2x?sin2x
?2cos?????2x?4??
∴T?2?2??， 即f(x)的最小正周期为?．
∵y?cosx的单调递减区间为[2k?,2k???]，k?Z，
∴由2k??2x??4?2k???，k?Z，解得k???8?x?k??3?8，k?Z，
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∴f(x)的单调递减区间为???k???8,k??3??8??，k?Z． （2）由已知f?x?0???1，可得2cos?2x0????4????1， 即cos??2x???0?4????22， 再由x????0?????,?2??，可得2x?7?30??4????4,??4??， ∴2x??0?4??54， 解得x3?0??4．
18．解：（1）∵aa*n?2?an?2n?1，n?N，n∈N*，即an?2?an?1?an?1?an，∴数列?an?是等差数列．
由a1?1，a4?a1?3d?7，解得a1?1，d?2， ∴an?a1?(n?1) d?2n?1． 当n?1时，b1?2，
当n?2时，bn?Sn?Sn?1?2n?1?2??2n?2?．
?2n?1?2n?2?2n?2n?2n．
∴数列?bnn?的通项公式为bn?2． （2）由（1）得，c?22n?1n?n， Tn?(2?1)??23?2???25?3??L??22n?1?n? ??2?23?25?L?22n?1??(1?2?3?L?n)
n?2?1?4?n)1?4?n(1?2
22n?1?2n2??n3?2．
19．解：（1）在?ABC中，A?B?C??，即B???(A?C)，
∴sinB?sin(A?C)， 由题意得2cosB?sinB?1．
两边平方可得2cos2B?sin2B?2sinB?1， 根据sin2B?cos2B?1，
可整理为3sin2B?2sinB?1?0， 解得sinB?13或sinB??1（舍去）． ∴sinB?13． （2）由C?A??2，且A?B?C??，
可得2A??2?B，C为钝角，
∴sin2A?cosB， 又b?3，
由正弦定理得
asinA?bsinB?csinC?33， ∴a?33sinA，c?33sinC． 又C为钝角，由（1）得cosB?223． ∴?ABC的面积为S?12acsinB?112?33sinA?33sinC?3 ?9???92sinAsin??2?A???2sinAcosA ?999224sin2A?4cosB?4?323?2综上所述，?ABC的面积为322． 20．解：（1）由题意得f(x)?lnx?2?4lnx?2?1?4lnx?2， 由x?1，知lnx?0，于是lnx?2?2， ∴0?11lnx?2?2，即?2??4lnx?2?0，
∴?1?1?4lnx?2?1，
∴f(x)的值域为[?1,1)． （2）f?x1??f?x2??1?4lnx?1?4?1，
1?2lnx2?22所以
4lnx?4lnx?3．
1?22?227
又x1?1，x2?1，
∴lnx1x2?lnx1?lnx2?lnx1?2?lnx2?2?4
?23???lnx?44?1?2???lnx2?2?????lnx1?2?lnx2?2???4 ??2?4?lnx2?2?4?lnx13?8?x??2????4 ?ln1?2lnx2?2??23(8?216)?4?203 当且仅当
4?lnx2?2??lnx1?2?lnx?4x1?x2时取“?”，
1?2lnx2?2，即20故?x1x2?3min?e，
∵f(x)在(1,??)上是增函数， ∴f?x71x2?min?13． ．解：（1）由题意得f?(x)?ex?2ax?x??ex?ex21?x?2a?，令?h(x)?x，
则h?(x)?ex(x?1)x2．
∴当0?x?1时，得h?(x)?0，此时h(x)单调递减，且x?0，h(x)???，当x?1时，得h?(x)?0，此时h(x)单调递增，且x???，h(x)???， ∴h(x)min?h(1)?e． ①当2a?e，即a?e2时，f?(x)?0，于是f(x)在(0,??)上是增函数， 从而f(x)在(0,??)上无极值．
②当2a?e，即a?e2时，存在0?x1?x??1?2，使得f?x1??f?x2??0，
且当x??0,x?1?时，f(x)?0，f(x)在?0,x1?上是单调递增；
当x??x?1,x2?时，f(x)?0，f(x)在?x1,x2?上是单调递减；
当x??x?2,???时，f(x)?0，f(x)在?x2,???上是单调递增，
故x2是f(x)在(0,??)上的极小值．
综上，a?e2．
（2）要证f(x)?ax(lnx?x)）即等价于证明ex?axlnx． ①当0?x?1时，得ex?1，axlnx?0， 显然成立；
②当x?1时，则xlnx?0，
结合已知0?a?e22，可得0?axlnx?e22xlnx． 于是问题转化为证明ex?e22xlnx， 即证明2ex?2x?lnx?0． 令g(x)?2ex?2x?lnx，x?1， 则g?(x)?2ex?2(x?1)?xx2，
令h(x)?2ex?2(x?1)?x，
则h?(x)?2xex?2?1，
易得h?(x)在(0,??)上单调递增． ∵h?(1)?2e?1?0，h?(2)?3?0， ∴存在x?x0?20?(1,2)使得h?x0??0，即2x0e?1．
∴h(x)在区间?1,x0?上单调递减， 在区间?x0,???上单调递增， 又h(1)??1?0，h(2)?0，
∴当x?(1,2)时，g?(x)?0，g(x)单调递减， 当x?(2,??)时，g?(x)?0，g(x)单调递增， ∴g(x)?g(2)?1?ln2?0， 故g(x)?0，问题得证．
22．解：（1）由题意得x2?y2?(cos??3sin?)2?(sin??3cos?)2?4，∴曲线C的普通方程为x2?y2?4． ∵x??cos?，y??sin?，
∴代入可得曲线C的极坐标方程为??2．
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