发布时间 : 星期四 文章高中数学圆锥曲线与方程教案更新完毕开始阅读
的下上焦点） 焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加 7．双曲线的定义：平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2）的动点的轨迹叫双曲线 即MF两焦点间的距离1?MF2?2a 这两个定点叫做双曲线的焦点，
叫做焦距 在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（?两条平行线） 两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（?两条射线） 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关 8．双曲线的标准方程及特点：
（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：
x2y2 焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：2?2?1(a?0,b?0)；
aby2x2 焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：2?2?1(a?0,b?0)
ab(2)a,b,c有关系式c?a?b成立，且a?0,b?0,c?0 222其中a与b的大小关系:可以为a?b,a?b,a?b 9焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母x、y项的分
22母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的
正负来判断焦点所在的位置，即x项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y项的系数是正的，那么焦点在y轴上 2210．双曲线的几何性质：
（1）范围、对称性
x2y2由标准方程2?2?1，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方
ab向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭
圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 （2）顶点
顶点：A1(a,0),A2??a,0?，特殊点：B1(0,b),B2?0,?b?
实轴：A1A2长为2a, a叫做半实轴长 虚轴：B1B2长为2b，b叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 （3）渐近线
x2y2bxy过双曲线2?2?1的渐近线y??x（??0） abaab（4）离心率
双曲线的焦距与实轴长的比e?2cc?，叫做双曲线的离心率 范围：e?1 2aabc2?a2c22双曲线形状与e的关系：k????1?e?1，e越大，即渐近线的斜2aaa率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越
大，它的开口就越阔 11．等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等
轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：y??x；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率e?12．共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为y??2 bkbx??x(k?0)，那么此双曲线方程就一akax2y2x2y2???1(k?0)或写成2?2?? 定是：
(ka)2(kb)2ab13．共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1 14． 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e?c(c?a?0)a的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率． 15．双曲线的准线方程：
x2y2a2对于2?2?1来说，相对于左焦点F1(?c,0)对应着左准线l1:x??，相对于右焦点
caba2F2(c,0)对应着右准线l2:x?；
cb2焦点到准线的距离p?（也叫焦参数） cy2x2a2对于2?2?1来说，相对于上焦点F1(0,?c)对应着上准线l1:y??；相对于下焦点
caba2F2(0,c)对应着下准线l2:y?
c16 双曲线的焦半径
定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点F1,F2的连线段，叫做双曲线的焦半径 焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：
?MF1?a?ex0??
MF?a?ex20?焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：
?MF1?a?ey0???MF2?a?ey0 （ 其中F1,F2分别是双曲线的下上焦点）
17．双曲线的焦点弦：
定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦 焦点弦公式：
当双曲线焦点在x轴上时，
过左焦点与左支交于两点时： AB??2a?e(x1?x2) 过右焦点与右支交于两点时：AB??2a?e(x1?x2) 当双曲线焦点在y轴上时，
过左焦点与左支交于两点时：AB??2a?e(y1?y2) 过右焦点与右支交于两点时：AB??2a?e(y1?y2) 18．双曲线的通径：
2b2定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 d? a19 抛物线定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线 20．抛物线的准线方程：
pp,0)，准线l：x?? 22pp2(2)x?2py(p?0), 焦点:(0,)，准线l：y?? 22pp2(3)y??2px(p?0), 焦点:(?,0)，准线l：x? 22pp2(4) x??2py(p?0), 焦点:(0,?)，准线l：y? 22 (1)y?2px(p?0), 焦点:(2相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的
1，即42pp? 42不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为?2px、左端为y；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为?2py，左端为x （2）
22开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号 21．抛物线的几何性质 （1）范围
因为p＞0，由方程y?2px?p?0?可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不
2等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性
以－y代y，方程y?2px?p?0?不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线
2的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程y?2px?p?0?中，当y=0时，x=0，
2因此抛物线y?2px?p?0?的顶点就是坐标原点．
2（4）离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1． 22抛物线的焦半径公式：
抛物线y?2px(p?0)，PF?x0?2pp??x0 22pp??x0 22抛物线y??2px(p?0)，PF?x0?2抛物线x?2py(p?0)，PF?y0?2pp??y0 22pp??y0 22抛物线x??2py(p?0)，PF?y0?223．直线与抛物线：
（1）位置关系：
相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点） 将l:y?kx?b代入C:Ax?Cy?Dx?Ey?F?0，消去y，得到
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