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第二章 圆锥曲线与方程
一、课程目标
在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上,在本模块中,学生将学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步体会数形结合的思想。
二、学习目标： （1）、圆锥曲线：
①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。
③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。
④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。
⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。 三、本章知识结构框图：
曲线与方程 求曲线的方程 曲线与方程 坐 标 法 椭圆 椭圆及其标准方程 椭圆的简单几何性质 双曲线及其标准方程 双曲线的简单几何性抛物线及其标准方程 抛物线的简单几何性
双曲线 抛物线 2.1 求曲线的轨迹方程（新授课）
一、教学目标
知识与技能：结合已经学过的曲线及方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，了解两条曲线交点的求法；能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，并初步学会通过方程来研究曲
线的性质。
过程与方法： 通过求曲线方程的学习，可培养我们的转化能力和全面分析问题的能力，帮助我们理解研究圆锥曲线的基本方法。
情感、态度与价值观：通过曲线与方程概念的学习，可培养我们数与形相互联系，对立统一的辩证唯物主义观。
二、教学重点与难点
重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法． 难点：作相关点法求动点的轨迹方法． 三、教学过程 (一)复习引入
平面解析几何研究的主要问题是：
1、根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； 2、通过方程，研究平面曲线的性质．
我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．
(二)几种常见求轨迹方程的方法 1．直接法
由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．
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例1、(1)求和定圆x+y=R的圆周的距离等于R的动点P的轨迹方程；
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(2)过点A(a，o)作圆O∶x+y=R(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析：
动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．
解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．
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即x+y=4R或x+y=0．
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故所求动点P的轨迹方程为x+y=4R或x+y=0． 对(2)分析：
题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．解答为：
设弦的中点为M(x，y)，连结OM， 则OM⊥AM． ∵kOM·kAM=-1，
其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)． 2．定义法
利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．
直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．
分析：
∵点P在AQ的垂直平分线上， ∴|PQ|=|PA|． 又P在半径OQ上．
∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．
故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义 写出P点的轨迹方程．
解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|． 又P在半径OQ上． ∴|PO|+|PQ|=2．
由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．
3．相关点法
若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．
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例3、已知抛物线y=x+1，定点A(3，1)，B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．
分析：
P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．
解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0)
∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．
4．待定系数法
求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．
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例4、已知抛物线y=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线y=2x被双曲线所截的的线段长等于25，求此双曲线方程。
ax-4bx+ab=0
∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因
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此方程ax-4bx+ab=0应有等根．
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∴△=16b-4ab=0，即a=2b．
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由弦长公式得：
即ab=4b-a．
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