发布时间 : 星期三 文章圆锥曲线解题技巧更新完毕开始阅读
支和右准线分别于P,Q,R，则?PFR和?QFR的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）；
813）； 13（8）直线y?ax?1与双曲线3x2?y2?1交于A、B两点。①当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？②当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：①?3,3；②a??1）；
（7）求椭圆7x2?4y2?28上的点到直线3x?2y?16?0的最短距离（答：??7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径r?ed，其中d表示P到与F所对应的准线的距离。
x2y2如（1）已知椭圆??1上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的
2516距离为____（答：
35）； 32（2）已知抛物线方程为y?8x，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；
（3）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为_____（答：7,(2,?4)）；
x2y2（4）点P在椭圆??1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点
25925P的横坐标为_______（答：）；
122（5）抛物线y?2x上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴
的距离为______（答：2）；
x2y2（6）椭圆??1内有一点P(1,?1)，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使
4326； MP?2MF 之值最小，则点M的坐标为_______（答：(,?1)）
38、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点P(x0,y0)到两焦点F1,F2的距离
x2y2S，则在椭圆2?2?1中， ①?＝分别为r1,r2，焦点?F1PF2的面积为
abb2?c22b2；arccos(?1)，且当r1?r2即P为短轴端点时，?最大为?max＝arccosa2r1r2?2②S?btan?c|y0|，当|y0|?b即P为短轴端点时，Smax的最大值为bc；对于双曲
2?2b2?1?x2y22??S?rrsin??bcot线2?2?1的焦点三角形有：①??arccos；②。 1?12??22ab?r1r2?
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2的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于3A、B两点，则?ABF2的周长为________（答：6）；
（2）设P是等轴双曲线x2?y2?a2(a?0)右支上一点，F1、F2是左右焦点，若
如 （1）短轴长为5，离心率e?； PF2?F1F2?0，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （答：x2?y2?4）
x2y2→→??1的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当PF（3）椭圆2 ·PF1 <0时，943535点P的横坐标的取值范围是 （答：(?； ,)）
556（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线
2与双曲线的左支交于A、B两点，且AB是AF2与BF2等差中项，则AB＝__________（答：82）；
（5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且
?F1PF2?60，S?PF1F2?x2y2； ?123．求该双曲线的标准方程（答：??1）
4129、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C
点，则A，O，C三点共线。
10、弦长公式：若直线y?kx?b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB＝1?k2x1?x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB＝
1?121?ky1?y2。x?ky?b，若弦AB所在直线方程设为，则＝y?yAB122k特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
如（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）； （2）过抛物线y?2x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：3）；
11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
2b2x0x2y2在椭圆2?2?1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=－2；在双曲线
abay0b2x0x2y2??1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2；在抛物线a2b2ay0
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y2?2px(p?0)中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=
p。 y0x2y2??1弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 如（1）如果椭圆
369（答：x?2y?8?0）； x2y2（2）已知直线y=－x+1与椭圆2?2?1(a?b?0)相交于A、B两点，且线段
ab2AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：）；
2x2y2（3）试确定m的取值范围，使得椭圆??1上有不同的两点关于直线
43?213213?； y?4x?m对称（答：???13,13??）
??特别提醒：因为??0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、
对称问题时，务必别忘了检验??0！
12．你了解下列结论吗？
2222yyxx（1）双曲线?2?1的渐近线方程为2?2?0； 2abab22byx（2）以y??x为渐近线（即与双曲线?2?1共渐近线）的双曲线方程为2aab22yx???(?为参数，?≠0）。 22abx2y2如与双曲线??1有共同的渐近线，且过点(?3,23)的双曲线方程为_______
9164x2y2??1） （答：94（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx?ny?1；
222b2（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到
ab2相应准线的距离）为，抛物线的通径为2p，焦准距为p；
c（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
（6）若抛物线y?2px(p?0)的焦点弦为AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，则
2p2,y1y2??p2 ①|AB|?x1?x2?p；②x1x2?42（7）若OA、OB是过抛物线y?2px(p?0)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2p,0)
13．动点轨迹方程：
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（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法：
①直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)?0；
如已知动点P到定点F(1,0)和直线x?3的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答：
y2??12(x?4)(3?x?4)或y2?4x(0?x?3)）；
②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。
如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）(m?0)，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答：y2?2x）；
③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； 如(1)由动点P向圆x2?y2?1作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60，则
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动点P的轨迹方程为
（答：x2?y2?4）；
（2）点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x?5?0的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答：y2?16x）；
(3) 一动圆与两圆⊙M：x2?y2?1和⊙N：x2?y2?8x?12?0都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；
④代入转移法：动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化，并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上，则可先用x,y的代数式表示x0,y0，再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；
如动点P是抛物线y?2x?1上任一点，定点为A(0,?1),点M分PA所成的比为2，
1则M的轨迹方程为__________（答：y?6x2?）；
3⑤参数法：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x,y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。
如（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点P，使|OP|?|MN|，求点P的轨迹。（答：x?y?a|y|）；
（2）若点P(x1,y1)在圆x?y?1上运动，则点Q(x1y1,x1?y1)的轨迹方程是____（答：y?2x?1(|x|?22222???1)）； 22（3）过抛物线x?4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的
2轨迹方程是________（答：x?2y?2）；
注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。
2x2y2如已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1
ab（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足|F1Q|?2a.点
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